Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для того, чтобы из семейства всех векторных линий выделить одну, надо задать точку M0 (x0,y0,z0), через которую эта векторная линия должна проходить, и по координатам заданной точки определить C1, C2, C8. Пусть, например, M0 имеет координаты 3; 5; 6; тогда уравнение векторной линии, проходящей через M0, можно записать в виде х == 3t, у = Ы, г = 6/. Здесь точка M0 получается при значении параметра t = 1.
Пример 2. Найти линии наибыстрейшего возрастания функции и — и(х, у, г).
Решение. Эти линии являются векторными линиями поля градиента, т. е. поля
Следовательно, дифференциальные уравнения, определяющие семейство векторных линий поля (5), таковы:
» I 9
*t Уі zt
дх ду dz
Решая эту систему уравнений, найдем искомое семейство линий наибыстрейшего возрастания функции и (х, у, г).
Введем еще одно важное понятие — векторной трубки. Пусть нам задана некоторая площадка а, расположенная в векторном поле. Через каждую точку этой площадки проходит векторная линия.
Часть пространства, заполненная векторными линиями, проходящими через точки площадки о, называется векторной трубкой, соответствующей этой площадке.
(5)
ёи ди ди *
29
Пример 3. Рассмотрим поле тяготения, образованное материальной точкой, расположенной в начале координат.
Здесь векторными линиями являются прямолинейные лучи, выходящие из начала координат (см. пример 1). Поэтому любая
Рис. 14
ін'кторная трубка в этом поле имеет форму конуса с вершиной в начале координат (рис. 14).
§ 7. Поток векторного поля через поверхность
Рассмотрим гладкую ограниченную поверхность St расположенную в некотором непрерывном векторном поле А. Выберем на этой поверхности определенную сторону*, которую назовем положительной стороной; противоположную сторону поверхности назовем отрицательной. Будем говорить, что такая поверхность, у которой выбраны положительная и отрицательная стороны, ориентирована. Буквой п обозначим единичный вектор нормали п точке M к поверхности 5, причем этот вектор направлен
* Здесь и всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только двусторонние поверхности, т. е. поверхности, обладающие тем свойством, что если точні M перемещается вдоль замкнутой кривой на этой поверхности, то вектор нор-м 'ли п после обхода замкнутой кривой, возвращается в исходное положение. •'¦•'м<‘тим, что далеко не всякая гладкая поверхность является двусторонней, ''¦!(¦смотрим, например, лист Мебиуса, получающийся от склеивчмия «крест-•|.1к{к‘ст» противоположных сторон AB и CD прямоугольника ABCD (точка А "Pu склеивании должна совпасть с С, а В — с D: см. рис. 15) Здесь при "Помещении точки M вдоль пунктирной линии, исходя из точки M0, вектор
п нозпращается в точку M0 в перевернутом виде, т. е. не в свое исходное "ОЛОЖЄНИЄ (CM. рис. 16).
зо
Часть /
от отрицательной к положительной стороне поверхности; ясно, что положение вектора п зависит от положения точки M на поверхности.
Рассмотрим следующую функцию: [(M) — (А п)\ она определена во всех точках поверхности S. Если Л Pi -f- Qj \ RU, а направляющие углы вектора п равны, соответственно а, (і, 7 (т. е. п - cosa- і -|- COSp- / і cosy-A?), то f (M) P cos a. I-Qcosp I R cosy.
Рис. 15 Рис. /6
Эта функция непрерывна на поверхности S. Следовательно, существует интеграл от / (M) по поверхности S. Этот интеграл называется потоком векторного поля через поверхность S (в выбранном направлении) и обозначается символом Il (или Hs):
П ,,. jj (An)dS --ff (Pcosa і Qcosp | R cos y) dS. (I)
S S _
Итак, потоком векторного поля А через ориентированную поверхность S называется поверхностный^ интеграл по поверхности S от скалярного произведения (Ап), где п—единичный вектор нормали к поверхности S, направленный от отрицательной стороны поверхности к положительной.
Заметим, что, изменяя ориентировку поверхности S, мы изменим знак потока, не изменив его абсолютной величины.
Здесь определение потока дано для случая гладкой поверхности. Если же ориентированная поверхность S является кусоч-но-гладкой, то под потоком векторного поля через поверхность S подразумевается алгебраическая сумма потоков через каждую гладкую часть поверхности S.
Если поверхность S является замкнутой, то ее обычно ориентируют следующим образом: внешнюю сторону поверхности считают положительной, а внутреннюю — отрицательной. Поэтому, говоря о потоке векторного ноля через замкнутую поверхность, будем считать, что она ориентирована так, как об этом сказано выше. Таким образом, под п (в случае замкнутой поверхности
S) подразумевается единичный вектор внешней нормали.
Выясним физический смысл потока векторного поля в слу* чае гидродинамической интерпретации этого поля.
31
Пусть A (M) = Pi + Qj -f Rk — скорость движущейся жидкости в точке М. Рассмотрим поток этого поля через некоторую поверхность S в данном направлении:
П
H= И (А п) dS — Iim Х(;4 л)ло AS1.
S diam CiSl -O j
Каждое слагаемое (An)Ml AS1 приближенно равно объему
того количества жидкости, которое прошло через площадку ASt і» выбранном направлении за единицу времени. Действительно, считая приближенно площадку AS1 плоской, заметим, что объем жидкости, прошедшей через эту площадку за весьма малый промежуток времени At, равен объему цилиндра, основание которого
