Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 7

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 110 >> Следующая


A 0A ~ ASa* cos

где Ya — острый двугранный угол между плоскостью Oxy и касательной плоскостью в точке Mk. Этот угол равен острому углу между осью Oz и нормалью к поверхности в точке Mk. Итак,

Aak

AS,=

COS?*

Следовательно,
= Iim 2j

dlam Aaft-O ft

f [xkt yk, 9 (xk, yk)] •

Под знаком предела оказалась интегральная сумма от функции двух переменных х и у (заметим, что угол y можно также рассматривать, как функцию от х и у). Ее предел равен двойному интегралу по области о. Следовательно,

Таким образом, нами выведена формула для вычисления интеграла по поверхности. Ее можно сделать более удобной для применения, если подставить в нее значение cos y- Для того, чтобы найти cos 7, заметим, что поверхность г— <р (*, у) является поверхностью уровня для функции u — z — <р(х,у). Поэтому нормаль к поверхности будет направлена вдоль градиента и, т. е. вдоль вектора

Косинус угла, составленного этим вектором с осью Ozt равен:

Подставляя найденное значение cosy в равенство (1), получим

Замечание. Укажем на одно следствие из формулы (1), которое нам понадобится в дальнейшем.

Рассмотрим интеграл по поверхности S от функции

JJ / yt z) dS = JJ / [х, yt 9 (.х, у)]

0>

* Заметим для дальнейшего, что cos а =

дх
22

Часть I

Ф(х, i/,z)cosy, гДе 7 — острый угол между осью Oz и нормалью к поверхности S. Тогда по формуле (1) имеем:

Яф(*> У.г)cos T AS = Я ф 1*> У* 9(*. I/)] cos Y — =

S о COS 1

= Нф1х>у><р(х> у) \d*>

где г = ф(х,у) — уравнение поверхности S. Итак,

Я Ф I*. У> 9 (х, У)) da = ЯФ (xt у, г) cos Y dS.

(4)

Пример. Вычислить массу поверхности конуса г = +Yx2 + у2, ограниченной сверху плоскостью z = K если поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки до начала координат (с коэффициентом пропорциональности С).

Решение. Согласно условию, плотность f(x,y,z) = = С JZrX2 + у2 + г2, и поэтому масса конической поверхности

может быть вычислена по формуле

m = ttCVx, + y* + z'dS.

Поверхность конуса задана уравнением z = Vx2+ у2 ; она проектируется на плоскость Oxy в круг о; уравнение контура этого круга имеет вид х2 + у2 = h2 (рис. 10). Итак, в соответствии с формулой (3),

)2+ (—Lrr)4l do =

/ \ VX2-I-WV

Vx2-Wi

= ДС К 2 + </*) • ]/2do=2CjJl/^ + y>d0.

О о

Получившийся двойной интеграл легко вычислить, если перейти

2те Л3 т.

к полярным координатам; он равен . Итак,

m = 2 С-

2те Л3 4те С Л3

3 3

§ 5. Формула Гаусса- Остроградского

В настоящем параграфе мы выведем формулу, позволяющую выразить в некоторых случаях поверхностный интеграл через тройной (формула Гаусса-Остроградского).
§5

23

Теорема. Пусть V — некоторая область в пространстве, a S — граница этой области. Если функции P(x,ytz), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные во всех точках области V (включая границу), то для них справедливо следующее равенство:

IJJ + ^ + ^jdv = JJIpcosa+ ^cosP+ ^cosT] dS>

V s

где а — угол между внешней нормалью к поверхности S и осью Ох, р — угол между внешней нормалью и осью Oy, 7 — угол между внешней нормалью и осью Oz.

Для доказательства рассмотрим сначала интеграл J dV*

Si

I

• У

о

Рис. 11

Рис. 12

Считая, что тело V ограничено снизу поверхностью z = <p(x, у)> а сверху — поверхностью z = ф (*, у), и что erd проекцией на плоскость Oxy является область о (рис. И)*, запишем этот тройной интеграл следующим образом:

* Мы наложим пока следующее ограничение на поверхность S-если тело V проектируется на плоскость Oxy в область о, то каждая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку области о, прокалывает ионерхность S только в двух точках (точке входа и точке выхода); анало-пічмое условие должно иметь место и при проектировании тела V на плоскости Oxz и Oyz.

Это ограничение впоследствии будет нами снято (когда мы выясним век-Т0Р»ЫЙ смысл формулы Гаусса-Остроградского).
24

Часть і

ш^-яГТ^]*

V О <р(х. у)

Интеграл, стоящий в квадратных скобках, можно непосредственно вычислить:

¦ (х. У)

J ~5k dz = у> Ф Я ^

<F Г-K.yJ

Поэтому

JII ^ dv=: II ^ у' ^ **’ ^ dcr — fl ^ 1/19 ^ da'

Vo а

Полученные двойные интегралы легко свести к интегралам по поверхности. Так, например, для того чтобы свести первый из этих интегралов к интегралу по поверхности S2 (где S2 — верхняя часть поверхности S), достаточно применить формулу (4) из предыдущего параграфа:

JJ# (х, у, ф (х, у)) da = JJ Я (х, у, z) cost* dS-

о St

Здесь Ta — острый угол между нормалью к S2 и осью Oz. Совершенно аналогично доказывается, что

JJ R (xt у, 9 (х, у,)) da = JJ Я (х, у, z) cos Ti dS,

a Sf

где T1 — острый угол между нормалью к поверхности S1 и осью Ог.

Подставив в равенство (1) вместо двойных интегралов соответствующие поверхностные, получим

JjT ^dV= Jj* R(x,y, z)cos^dS-JJ#(*,#,z) costi dS.

V St Si

Заметим, что острый угол тг в первом из этих интегралов совпадает с углом т» составленным внешней нормалью с осью Oz\ острый угол Ti во втором интеграле равен 180° — т« гДе T—Угол между внешней нормалью и осью Oz (рис. 12). Выражая в обоих интегралах Ta и Ti через т, мы будем иметь:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed