Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
A 0A ~ ASa* cos
где Ya — острый двугранный угол между плоскостью Oxy и касательной плоскостью в точке Mk. Этот угол равен острому углу между осью Oz и нормалью к поверхности в точке Mk. Итак,
Aak
AS,=
COS?*
Следовательно,
= Iim 2j
dlam Aaft-O ft
f [xkt yk, 9 (xk, yk)] •
Под знаком предела оказалась интегральная сумма от функции двух переменных х и у (заметим, что угол y можно также рассматривать, как функцию от х и у). Ее предел равен двойному интегралу по области о. Следовательно,
Таким образом, нами выведена формула для вычисления интеграла по поверхности. Ее можно сделать более удобной для применения, если подставить в нее значение cos y- Для того, чтобы найти cos 7, заметим, что поверхность г— <р (*, у) является поверхностью уровня для функции u — z — <р(х,у). Поэтому нормаль к поверхности будет направлена вдоль градиента и, т. е. вдоль вектора
Косинус угла, составленного этим вектором с осью Ozt равен:
Подставляя найденное значение cosy в равенство (1), получим
Замечание. Укажем на одно следствие из формулы (1), которое нам понадобится в дальнейшем.
Рассмотрим интеграл по поверхности S от функции
JJ / yt z) dS = JJ / [х, yt 9 (.х, у)]
0>
* Заметим для дальнейшего, что cos а =
дх
22
Часть I
Ф(х, i/,z)cosy, гДе 7 — острый угол между осью Oz и нормалью к поверхности S. Тогда по формуле (1) имеем:
Яф(*> У.г)cos T AS = Я ф 1*> У* 9(*. I/)] cos Y — =
S о COS 1
= Нф1х>у><р(х> у) \d*>
где г = ф(х,у) — уравнение поверхности S. Итак,
Я Ф I*. У> 9 (х, У)) da = ЯФ (xt у, г) cos Y dS.
(4)
Пример. Вычислить массу поверхности конуса г = +Yx2 + у2, ограниченной сверху плоскостью z = K если поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки до начала координат (с коэффициентом пропорциональности С).
Решение. Согласно условию, плотность f(x,y,z) = = С JZrX2 + у2 + г2, и поэтому масса конической поверхности
может быть вычислена по формуле
m = ttCVx, + y* + z'dS.
Поверхность конуса задана уравнением z = Vx2+ у2 ; она проектируется на плоскость Oxy в круг о; уравнение контура этого круга имеет вид х2 + у2 = h2 (рис. 10). Итак, в соответствии с формулой (3),
)2+ (—Lrr)4l do =
/ \ VX2-I-WV
Vx2-Wi
= ДС К 2 + </*) • ]/2do=2CjJl/^ + y>d0.
О о
Получившийся двойной интеграл легко вычислить, если перейти
2те Л3 т.
к полярным координатам; он равен . Итак,
m = 2 С-
2те Л3 4те С Л3
3 3
§ 5. Формула Гаусса- Остроградского
В настоящем параграфе мы выведем формулу, позволяющую выразить в некоторых случаях поверхностный интеграл через тройной (формула Гаусса-Остроградского).
§5
23
Теорема. Пусть V — некоторая область в пространстве, a S — граница этой области. Если функции P(x,ytz), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные во всех точках области V (включая границу), то для них справедливо следующее равенство:
IJJ + ^ + ^jdv = JJIpcosa+ ^cosP+ ^cosT] dS>
V s
где а — угол между внешней нормалью к поверхности S и осью Ох, р — угол между внешней нормалью и осью Oy, 7 — угол между внешней нормалью и осью Oz.
Для доказательства рассмотрим сначала интеграл J dV*
Si
I
• У
о
Рис. 11
Рис. 12
Считая, что тело V ограничено снизу поверхностью z = <p(x, у)> а сверху — поверхностью z = ф (*, у), и что erd проекцией на плоскость Oxy является область о (рис. И)*, запишем этот тройной интеграл следующим образом:
* Мы наложим пока следующее ограничение на поверхность S-если тело V проектируется на плоскость Oxy в область о, то каждая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку области о, прокалывает ионерхность S только в двух точках (точке входа и точке выхода); анало-пічмое условие должно иметь место и при проектировании тела V на плоскости Oxz и Oyz.
Это ограничение впоследствии будет нами снято (когда мы выясним век-Т0Р»ЫЙ смысл формулы Гаусса-Остроградского).
24
Часть і
ш^-яГТ^]*
V О <р(х. у)
Интеграл, стоящий в квадратных скобках, можно непосредственно вычислить:
¦ (х. У)
J ~5k dz = у> Ф Я ^
<F Г-K.yJ
Поэтому
JII ^ dv=: II ^ у' ^ **’ ^ dcr — fl ^ 1/19 ^ da'
Vo а
Полученные двойные интегралы легко свести к интегралам по поверхности. Так, например, для того чтобы свести первый из этих интегралов к интегралу по поверхности S2 (где S2 — верхняя часть поверхности S), достаточно применить формулу (4) из предыдущего параграфа:
JJ# (х, у, ф (х, у)) da = JJ Я (х, у, z) cost* dS-
о St
Здесь Ta — острый угол между нормалью к S2 и осью Oz. Совершенно аналогично доказывается, что
JJ R (xt у, 9 (х, у,)) da = JJ Я (х, у, z) cos Ti dS,
a Sf
где T1 — острый угол между нормалью к поверхности S1 и осью Ог.
Подставив в равенство (1) вместо двойных интегралов соответствующие поверхностные, получим
JjT ^dV= Jj* R(x,y, z)cos^dS-JJ#(*,#,z) costi dS.
V St Si
Заметим, что острый угол тг в первом из этих интегралов совпадает с углом т» составленным внешней нормалью с осью Oz\ острый угол Ti во втором интеграле равен 180° — т« гДе T—Угол между внешней нормалью и осью Oz (рис. 12). Выражая в обоих интегралах Ta и Ti через т, мы будем иметь: