Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
52
Часть I
cosp = 0, COSy = I и, следовательно, равенство (10) переходит в равенство
I S
т. е. в формулу Грина-Остроградского.
Пример. Рассмотрим поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью <d0 вокруг оси Ozt
А = [со /?] = — %уТ + %х]
(см. пример на стр. 43—44). Вычислим циркуляцию поля А по произвольной замкнутой кривой /, лежащей в-плоскости, перпендикулярной к оси вращения (т. е. в плоскости Oxy или в плоскости, ей параллельной):
J AdT =J — % ydx -f- %xdy. і і
Применим к вычислению этого интеграла теорему Стокса, приняв в качестве S плоскую область, ограниченную кривой / (тогда
вектор нормали к поверхности равен k и поэтому cos a = cos P = O, cos 7 = 1). Следовательно,
J Adl =J — ®0ydx -j- M0Xdy= і і
= Я [^l - eJ=?^] = 2“« ЯdS = 2“»S-
S S
Этот результат уже получен ранее (см. пример на стр. 43—44) для того случая, когда I являлась окружностью, лежащей в плоскости Оху.
Точно таким же путем можно установить, что если / — замкнутый контур, лежащий в плоскости, параллельной оси вращения, то J Adl = 0.
і
§ 12. Плотность циркуляции векторного поля. Ротор
Рассмотрим векторное поле А — Pi + Qj + Rk, где PyQfR и их частные производные 1-го порядка непрерывны в точке M0 и в ее окрестности.
іїаІаНашіЩі
§ 12
53
Проведем через точку M0 какую-либо поверхность S и на этой поверхности построим замкнутый контур I, окружающий M0 (рис. 28). Выбрзв определенное направление на этом контуре, вычислим циркуляцию
Средняя плотность циркуляции равна---------— .
Если контур I стягивать к точке M0 (так, чтобы при этом контур все время оставался бы на поверхности S), то площадь о стремится к нулю. Предел, к которому стремится при этом средняя плотность циркуляции, называется плотностью циркуляции в точке M0 по поверхности 5. 7
Для вычисления плотности циркуляции в точке M0 преобразуем криволинейный интеграл в поверхностный (по теореме Стокса) и затем применим теорему о среднем.
Z
‘ J Adl.
Ясно, что величина этого интеграла зависит от контура / и, вообще говоря, стремится к нулю при стягивании контура к точке M0.
О
S
Отношение циркуляции по контуру I к площади а той части поверхности S, которая ограничена данным контуром, называется средней плотностью циркуляции.
Рис. 28
У
j Adl
Плотность циркуляции равна Iim —
О)
^Adl
Плотность циркуляции в точке M0 равна Iim-
1-*М0
і
о
= Iim
I-+Af о
С
54
Часть I
Здесь а, р, Y — направляющие углы вектора нормали к поверхности S (направление нормали выбрано так, чтобы оно было согласовано с направлением обхода контура /; см. сноску на стр. 48), a Mcp — некоторая промежуточная точка области а. При стягивании площадки о точка Mcp стремится к точке M0. При этом значение функции
й-«ьчг-#н+$-їЬ
в точке Mcp стремится к значению этой же функции в точке M0;
dR до
это следует из того, что, по условию, производные ~, ...
непрерывны в точке M0, а также из того, что направляющие косинусы (cos a, COSp, COS у) являются непрерывными функциями точки M (мы предполагаем, что поверхность S является гладкой в некоторой окрестности точки M0).
Итак, плотность циркуляции в точке M0 равна (dR dQ\ . ( дР dR\ л Q . / dQ дР\ /оч
IaTtojcosa + Ы-TtejcosP +(ж-SijcosI- (2)
Выведенная формула показывает, что плотность циркуляции в точке M0 зависит: _
от заданного векторного поля A = Pi + Qj+ Rk (в выраже-
dR dQ
ние для плотности циркуляции входят производные -щ, ~ ... в точке M0);
от вектора нормали п к поверхности S в точке M0 (в выражение для плотности циркуляции входят направляющие косинусы вектора нормали: cos a, cosp, cos 7).
Вместе с тем формула (2) показывает, что плотность циркуляции в точке M0 не зависит от поверхности St а только от вектора нормали к этой поверхности. Иными словами, если через точку M0 провести две различные поверхности S1 и S2, имеющие один и тот же вектор нормали в этой точке, то плотность цир-
55
куляции в точке M0 по каждой из поверхностей будет одна и та же. Поэтому можно говорить не о плотности циркуляции по поверхности St а о плотности циркуляции в направлении вектора п. _
Плотностью циркуляции векторного поля А в точке M0 в направлении вектора п называется плотность циркуляции в этой точке по любой поверхности S, имеющей в качестве нормали (в точке M0) вектор п.
Итак, если А — Pi -J- Qj + Rkt п = cos a -i -f cosp • / 4~ cos f -К то плотность циркуляции в точке M0 в направлении п равняется:
IdR д(А . (дР dR\ 0 . ( dQ &Р\
(W - ж)cos'а + IaT - йї]^IP + № -S-у)cos* (3)
Заметим, что выражение, стоящее в правой части равенства, представляет собой скалярное произведение двух векторов: вектора t-cosa -J-/-cos р -f &-C0S7 (это единичный вектор, направленный вдоль нормали щ обозначим его п0) и вектора
(dR __ dQ\ Т (дР __ T (dQ _ дР\j \dy dz)l^\dz dxJ'^Xdx dy)R’
который зависит только от заданного поля А. Обозначим этот вектор символом rot А (читается так: ротор векторного поля А). С помощью понятия ротора можно следующим образом переписать формулу (3) для вычисления плотности циркуляции:
