Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть нам дана ограниченная поверхность S, во всех точках которой задана функция и = f(x, у, z). Иными словами область определения функции f (х, у, г) либо совпадает с S, либо содержит S.
Разобьем S на несколько малых частой: AS,, AS2,,.. ASn (элементарных площадок) и внутри каждой из них выберем произвольно точку:
Mi, M2......Mn (рис. 8). Тогда сле-
дующая сумма*
/ (Mi) д S1 + / (Af^ AS, + ... +
п
+ f(M„)&S„~ I, f (Mt)ASk
__________ А=/
* Здесь и всюду в дальнейшем символами AS1, AS2, AS8, • • • , ASn мы ’',п'П!ачаем не только сами поверхности, но и их площади.
18
Часть /
называется интегральной суммой для функции f (,х, у, г). Предел интегральной суммы (при стремлении максимального диаметра элементарных площадок A Sk к нулю), если он существует, называется интегралом по поверхности S от функции / (*, у, г); он обозначается JJ / (х, у, z) dS. Tаким образом, по определению
п
f f / (х, у, г) dS = Iim S / (Mk) Д Sk.
S dlam Д S^-*0 k==\
Сформулируем принимаемую нами без доказательства теорему существования интеграла по поверхности.
Пусть S — ограниченная, гладкая или кусочно-гладкая поверхность, имеющая конечную площадь. Если функция f(x,y,z) непрерывна во всех точках поверхности S и ограничена на этой поверхности, то предел интегральной суммы
П
S f (Mk)LSk (при стремлении максимального диаметра LSk к ну-ft= і
лю) существует. Иными словами, при этих условиях существует интеграл от функции f (х, у, z) по поверхности S.
В дальнейшем мы будем считать, что все рассматриваемые поверхности являются ограниченными и гладкими (или кусочно-гладкими), и что они имеют конечную площадь.
Рассмотрим, какие физические задачи могут привести нас к понятию интеграла по поверхности.
1. Пусть в каждой точке материальной поверхности S задана поверхностная плотность f(x, у, г) (под поверхностной плотностью в точке Mt подразумевается предел, к которому стремится отношение где AS — площадь небольшой части поверх-
ности, охватывающей точку М, а Am—масса этой части поверхности; предел берется при стягивании площадки ASk точке М).
Поставим перед собой задачу о вычислении массы всей поверхности S. Для этого вычислим ее сначала приближенно. Разобьем S на несколько мелких площадок: AS1, AS2,... ASn. Если диаметры этих площадок малы, а плотность f(x,y,z) является непрерывной функцией, то можно считать, что плотность во всех точках площадки A Sk одинакова; за эту плотность можно принять, например, f (Mk), где Mk — какая-либо точка площадки A Sk. Тогда масса A Sk приближенно равна / (Mk) A Sk, а
П
масса всей поверхности приближенно равна If(Mi)ASlt. Оче-
*=1
видно, чем мельче брать плсщадки A Sk, тем точнее эта сумма
19
даст величину массы. Точное значение массы можно получить, взяв предел этой суммы
п
т — Iirn Ti f (Mk) A Sk.
diam bSk-»0 A_i
Ho этот предел равен интегралу по поверхности.
Итак,
т = JJ / (*• У»2)
т. е. масса материальной поверхности S равна интегралу по этой поверхности от поверхностной плотности.
2. Рассмотрим задачу о вычислении площади поверхности S.
п
Очевидно, S — И ASk.
*=1
Переходя в этом равенстве к пределу (при diam ASk-+ 0), получим
П
S = Iim ? ASk.
diam Л -S^-O
Ho в правой части этого равенства стоит предел интегральной суммы (построенной для функции f(x,y,z)^ 1).
Итак,
S = JJldS1
т. е. площадь поверхности равна интегралу по этой поверхности от функции, тождественно равной единице.
Другие примеры приложения интеграла по поверхности будут рассмотрены в теории векторного поля.
Отметим некоторые свойства интеграла по поверхности:
1) интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от каждой функции в отдельности:
.у I/ (х, y,z) + <p (х, уу Z)] dS = JJ / (.X, у, z) dS + JJ 9 (х, у, 2) dS\
2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла по поверхности:
JJfl/ (х, У, 2) dS = a JJ / (х, у, 2) dS;
3) если поверхность S разбита на две части S1 и S2, при-чем эти части не имеют общих точек, то
20 Часть I
Jj / (AT, г/, 2Г) dS = |J7(*,1/,Z) dS + |j7(xty,z) dS.
Замечание к свойствам 1), 2), 3). Из существования
интегралов в правых частях равенств вытекает существование интегралов в левых частях.
4. Теорема о среднем. Пусть S — ограниченная, гладкая или кусочно-гладкая поверхность, имеющая конечную площадь; если функция f(x,y,z) непрерывна и ограничена на S, то на поверхности S найдется такая точка х0, у0, z0, для которой имеет
место равенство:
Я/(х> У> *) dS = f (х0, у0, Z0)-S.
s
Доказательство всех этих свойств производится дословно так же, как и доказательство аналогичных свойств для двойных интегралов.
Выведем формулу для вычисления интеграла по поверхности. Пусть поверхность S задана уравнением z = <р(х,у) и проектируется на плоскость Oxy в плоскую область о (рис. 9). Разобьем область S на мелкие части AS1, AS2,..., ASn и рассмотрим проекции этих частей на плоскость Oxy: Aa1, Aa2,..., Aan. Будем считать приближенно каждую площадку ASk плоской (например, ASk заменим соответствующей частью касательной плоскости, проведенной в какой-либо точке Mk, где Mk — точка, лежащая на ASk). Тогда между площадями ASk и Aoft имеет место следующее соотношение:
