Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
А = [о) • (/?—)] = [ш^1 — Mo] = [ыЩ.
(Здесь учтено, что [о>/?0] ~ 0, так как векторы oi и R0 расположены на одной прямой.)
'Hk
Таким образом, А = [мі?] ==
= — О) ¦ У • і -J- (й • X • І .
О 0 ш x_yz
Вычислим циркуляцию поля А по следующей окружности С радиуса а, лежащей в плоскости Оху:
х — a cos ©, у = a sin в,
2 = 0.
При этом направление обхода по окружности выберем так, чтобы оно совпадало с направлением вращения (т. е. при обходе по окружности параметр © возрастает от 0 до 2тс).
j* Ad l= J (— inydx -J- <oxdy) ~
с с
2я
= J [—(o-asin©-(—ci siri©)-f- w¦ acosB-acos@]d& =
о
= 2to • а2тс = 2(o • <S,
где 5 — площадь круга.
Заметим, что циркуляция по любой окружности, лежащей в плоскости Оху,также равна 2ш5 (даже если центр этой окружности не лежит в начале координат). _
С другой стороны, циркуляция по любой окружности, лежащей в вертикальной плоскости, равна нулю; так, например, циркуляция по окружности C1
х = ci cos ©, y = b, Z = a sin©
вычисляется следующим образом:
2я
j* A d T = J (— mydx + u>xdy) = J — о)*6- (— a sin ©) d@ ~ 0.
C1 Ct о
45
§ IL Формула Грина-Остроградского и теорема Стокса
Рассмотрим плоский замкнутый контур / (расположенный, например, в плоскости Оху) и область о, ограниченную этим
контуром. Пусть векторное поле А плоскопараллельно: любой
вектор поля параллелен плоскости Oxy и не зависит от z, т. е. A = P (х, у) • і -f- Q (х, у)• /, где PuQ — непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка (всюду в области о и на ее границе). Тогда циркуляция векторного поля А по контуру / может быть выражена через двойной интеграл по области о:
_«?.]* (і)
Здесь интегрирование по контуру I совершается в положительном направлении, т. е. так, что при обходе по контуру в этом направленнии область а остается слева от контура.
Формула (1), известная из курса анализа, называется формулой Грина (или формулой Грина-Остроградского). Докажем ее.
Предположим сначала, что область а обладает следующим свойством: каждая
вертикальная и каждая горизонтальная прямая, проходящая через какую-либо внутреннюю точку области а, пересекает границу рис 24
области только в двух точках (см., например, рис. 24). Такую область будем называть правильной. Пусть, например, область а ограничена снизу линией у ==* ф (х), сверху— линией у = <р (х), и пусть ее проекцией на ось Ox служит отрезок
[а; Ь]. Вычислим интеграл Jjda. Согласно правилу вычисления двойного интеграла, имеем:
CC дР с9гх)др с Тпх) ~
JJ ^da= J J -QjdVdx = I [Р(*>У)\ I dx =
О а Ф(*) а ?=ф(*)
Ъ Ъ
= |Р(лг, 9(х))dx— jP(х, ty(x))dx. (2)
46
Часть I
b
Интеграл J P (х, 9 (де)) dx равен криволинейному интегралу
а
J Р{х, y)dx, взятому по дуге АВ\ это следует из формулы вы-
AB
числения криволинейного интеграла (см. формулу (1) из § 10) и из того, что уравнения х = х, у = <р(х) можно рассматривать, как параметрические уравнения дуги AB, где роль параметра играет абсцисса х (причем а < л; < Ь). Итак,
ь
§Р{х, cp(x))dx = j Р(х, y)dx.
а • AB
Аналогично
ь
J P (*, ф (*)) dx = ^ P (X, у) dx.
a AtB1
Учитывая эти формулы, перепишем равенство (2) следующим образом:
Р(х’ р(х> У)йх'
9 AB
Заметим далее, что криволинейные интегралы от P (х, y)dx, взятые по вертикальным отрезкам B1B и AA1, равны нулю. Поэтому написанное выше равенство можно переписать так:
WS*-
= JP(x, у)dx— j Р(х, y)dx — J Р(х, y)dx— J Р(х, y)dx;
A В А\В\ В\В АА%
изменив теперь направление движения вдоль AB на обратное, получим
¦Яті*—[J Pdx +1Pdx +1 Pdx+ Wl=-W-
C a L BA AA1 A1B1 B1B J I
так как линии BA, AA1, A1B1 и B1B образуют в совокупности всю границу I, проходимую в положительном направлении.
Допустим теперь, что область а не является правильной, но может быть разбита на конечное число правильных областей
^alaUausrWl
$нэнивСвзертіч
§11
47
(например, на две правильные области; рис. 25). Покажем, что равенство
ГГ Si*, = -Jftfc
JJ ду
(3)
сохраняется и в этом случае. Действительно,
JJS*-JJ?*+JfS*
' Применим к интегралам по правильным областям O1 и а2 выведенную формулу (учитывая при этом, что граница области O1 состоит из дуги I1 и отрезка MN, а граница области о2 — из дуги /2 й отрезка NM):
др
Рис. 25
HS*—j "-Xwe
¦»
Складывая почленно эти равенства и замечая, что при этом интегралы по MN и по NM взаимно уничтожаются, получим
Я % *=Я ж *+Я-% d°=- іPdx-1Pdx=- Jpdx-
Итак, равенство (3) справедливо не только для любой правильной области, но и для любой области о, которая может быть разбита на конечное число правильных.
Совершенно аналогичным путем выводится формула
яз*
J Qdyi
(4)
также справедливая для любой такой области с, которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Вычитая почленно из равенства (4) равенство (3), получим формулу Грина-Остроградского
Формула Стокса. Обобщим формулу Грина-Остроградского на тот случай, когда I — произвольный замкнутый контур (а не только плоский) и поле А — также произвольное (а не обязательно плоскопараллельное).
