Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
div А
=Iim
V-+M
JjfSn)
dS
У
Рис. 18
Te точки векторного поля, в которых дивергенция положительна, называются источ* никами. Этот термин объясняется тем, что если описать около такой точки достаточно малую замкнутую поверхность, то поток через эту поверхность окажется положительным^, следовательно, если- истолковывать наше векторное поле гидродинамически, то через эту поверхность жидкость вытекает наружу). Te точки, в которых дивергенция отрицательна, называются стоками.
Пусть векторное поле задано аналитически: А = Pi -f Q7 4* + Rkt где Pt Qt R — скалярные функции, имеющие непрерывные производные первого и второго порядков. Попытаемся найти аналитическое выражение для дивергенции в точке М. Опишем для этого около точки M произвольную замкнутую поверхность і обозначим через V ту часть пространства, которая ограничені этой поверхностью (рис. 18). Тогда
іу (Р cos a -f- Q cos 0 + R cos y) dS
~Т7---— --------------P---------------*
v V-*M v
где а, р, ^ — направляющие углы внешней нормали. Преобразу
div А
Sj(An)dS =Iim -—я----------¦¦= Iim
V-M v V-+M
§8
35
ем полученный поверхностный интеграл к тройному по формуле Гаусса-Остроградского:
_ га[?*з+й]*
div А — Iim----------п----------»
v-лі у
и применим к тройному интегралу теорему о среднем; в силу этой теоремы, внутри области V найдется точка Mep такая, что
Поэтому
fff/dP dQ з/?\ /ая dQ .т
л. - „ v{i>;+ау + Эг)м
div A =Iim-----------п----------= Iim-----------п--------^ —
v-м у v-м Y
V-Aflax дУ дг)>
'Мер'
Когда объем V стягивается к точке Mt тогда и всякая ^ero внутренняя точка (в частности, Мс„) стремится к М. Ho тогда, в силу непрерывности функции ~ + + ^ , ее значение в точке
Mcp стремится к ее значению в точке М. Поэтому
+ <¦> где все частные производные вычисляются в точке М. Это и есть искомая формула для вычисления дивергенции векторного поля.
Равенство (1) позволяет записать в векторной форме доказанную ранее теорему Гаусса-Остроградского. Если учесть, что
11 (P cos а 4- Q cos р 4- R cos j) dS является потоком векторного
ноля А — PT4- Qj Rk через поверхность 5, a 4- Щ 4-
является дивергенцией этого поля, то равенство
JJ(Р cos а 4- Q cos P 4- R cos 7) dS = JjJ [2? 4- ^ 4- ^ j
dV
і
36
Часть /
может быть переписано следующим образом:
Jj [An)dS = jjj div Л dV.
S V
Итак, поток векторного поля А через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции div А по той области, которая ограничена этой поверхностью. Конечно, это равенство справедливо лишь в том случае, когда div А непрерывна всюду внутри области V.
Пример -I. Вычислить поток векторного поля A = (x+y)i -f- (у — х) / -{- zk через поверхность единичного радиуса с центром в начале координат.
Решение. Ранее мы решали эту задачу, вычисляя поток
непосредственно, исходя из его определения (см. пример Ib § 7).
Решим снова эту задачу — на этот раз с помощью теоремы Гаусса-Остроградского; для этого^вычислим сначала div А:
Aixr Т— д (х + У) л- д(*/ —*) , _ о
div А— дх + ду + дг — д.
Итак,
П - (Лй) dS = JJJ div AdV = j jj ZdV - ЗН = 3.1-* = 4*.
Пример 2. Вычислить поток поля сил тяготения
A Tfm^
(W
через поверхность сферы с центром в начале координат радиуса а с помощью теоремы Гаусса-Остроградского невозможно, так как дивергенция разрывна при х — 0, у — 0, г — 0.
Заметим, что если бы мы попробовали, несмотря на это, применить теорему Гаусса-Остроградского, то получили бы заведомо неверный результат: в данном случае* div А — 0 (всюду,
* Для вычисления дивергенции данного поля в произвольной точке, отличной от (0; 0; 0), надо записать это поле аналитически (в декартовой системе координат): _ _ _
T _ тт (*І + У} + zk ) л----- 3 *
(Xа -Hf/2 + 22) 2
и применить формулу (1).
§8
37
кроме точки (0, 0, 0)). Поэтому мы получили бы П=JJJdiv = = JJJ 0 dV = 0, что неверно, так как на самом деле П = —4
(см. пример 2 на стр. 33).
Расхождение в результатах объясняется тем, что при вычислении по теореме Гаусса-Остроградского мы не обратили внимания на разрывность подинтеґральной функции внутри области V; следовательно, применять эту теорему в данном случае мы не имели права.
Замечание. Формула Г аусса-Остроградского была выведена нами в предположении, что граница области V (поверхность S) удовлетворяет некоторым дополнительным условиям (CM. сноску на стр. 23). Теперь, используя векторный смысл формулы Г аусса-Остроградского, можно освободиться от этих ограничений (и тем самым доказать, что теорема Гаусса-Остроградского имеет место при гораздо более широких условиях).
а) Пусть V произвольная область, ограниченная одной замкнутой поверхностью S; допустим, что область V можно разбить на конечное число областей V1, V2,. •,
Vkt границы которых удовлетворяют условиям, при которых была доказана теорема; для определенности будем считать, что область
V может быть разбита на две такие области V1 и V2, ограниченные поверхностями S1 и S2 (см. рис. 19). К каждой из этих областей теорема Г аусса-Остроградского применима. Поэтому
