Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
d2Zf*>
~d?~
где
+ O2-Zfi) ZfiK (12.2.2)
г =г+ ----------In |г+ -г I - -------In |г_-г |, (12.2.3)
2К, 2К.
- г.
Iri 2гТ
г+ — Г. г+ — г _
К+ = ----- , , (12.2.4)
К(-) = — 1 г5
<jx2+2)r-qt + — I, (12.2.5)
v(.+)= у(-) +2а, —----------------- , (12.2.6)
* ' 4i dr. г2(M2r+q,) '
A = (г-rj (г-г J = г2 -Шг + Q2, M2 =(/- 1)(/ + 2), (12.2.7)
qi = ЗМ + V(9Л/2 +4Q2Ii2), q2 = ЗМ — у/(9М2 +AQ2Ii2) (12.2.8)
(в формулах (12.2.5), (12.2.6) і ,-j = I, 2; і #/) .Оказывается,чтоZf ^ связано с Zf~) простым алгебраическим соотношением.
Уравнения типа (12.2.2) уже встречались нам в задаче о поведении физических полей вне черной дыры (см. гл. 3). Нас интересует рещение этих уравнений, описывающее прохождение и отражение падающей на V^i) волны. (В данном случае Vfi) является потенциальной ямой, а не барьером, как зто было для, внешнего пространства черной дыры, но качествен-
276
но это не меняет дела.) Оказывается, что коэффициенты отражения и прохождения для просто выражаются через соответствующие коэф-
фициенты OthZ
Исследуем поведение волновых возмущений, входящих в область II через горизонт г+ из области I (см. рис. 84). Для этой цели рассмотрим дисперсию волны, имеющей единичную амплитуду на г = г+ (г , -°°).
Решение уравнений (12.2.2) должно удовлетворять следующим граничным условиям (мы опускаем верхние и нижние индексы, так как анализ справедлив для всех их значений):
Z(r„o)-*A(p)e-iar*+В(р)еНаг* (г.^+°°, г-*•!¦_),• (12.2.10а)
Z(r,, о)^е~'аг* (г,->-°о, г->г+). (12.2.IOb)
Коэффициенты А (а) ий(о), описывающие прохождение и отражение волны через К (г,), могут быть в принципе найдены стандартными методами, если известен вид V(rt) [см. (12.2.5), (12.2.6)]. Удобно ввести для анализа нулевые (световые) координаты .
м = г.+Л v = r,-t. (12.2.11)
Если нанести на рис. 84 линии постоянного и (мы не делали этого, чтобы не загромождать чертеж), то они изобразятся отрезками прямых, параллельными г+. Линии постоянного іГ (также не показанные на рисунке) являются отрезками прямых, параллельными г_,,. Горизонту г + соответствует и = - горизонту г__, [ - D = оо, а г_ 2 - и = +0°. Граничные условия (12.2.10) переписываются в виде
Z(r„t)^e-io~v+[A(p)-\) е~,а“ +
+ В(о) e+iau (г.о, г->г_), (12.2.12)
Z(r,,t)->e-iav (г.->-««, г-+г+). (12.2.13)
Рассмотрим возмущение Zb03m (и) , пересекающее горизонт г +, т.е. заданное при и -*¦ —°°. Его фурье-образ есть
1 . ~
Z(o) = — / ZB03M(v) e,ovdv. ' (12.2.14)
2 я — <*>
После дисперсии в области II возмущение достигнет горизонта г_. Там его амплитуда может быть записана в виде [см. (12.2.12) ]
Zpacc(r..t)^X(v)+Y(S) (г.--), (12.2.15)
где
OO
X(V)= / Z(O) [А(о) — 1] e-ia“do, (12.2.16)
--OO
OO
Y(S)= / Z(O)В(о)e+ia“do. (12.2.17)
--OO
Нас интересует поток излучения, воспринимаемый наблюдателем, пересекающим горизонт г_. Этот поток пропорционален квадрату амплитуды
F = MaZjttI , (12.2.18)
Ir—* г_ ¦
277
где и* — четырехмерная скорость наблюдателя. В зависимбсти от to го, будет ли поток конечным или бесконечным, горизонт г_ будет устойчив или неустойчив (в линейном приближении) относительно малых возмущений.
Метцнер и др. (1979) и Чандрасекар (1983) показали, что на горизонте Коши величина F записывается в виде:
на i
2г2 ~
Fr = --------— |?| Um eK-vX (12.2.19)
r+-r_ -^00
на г-, 2
2гг
Fr =-----------=_ E Iim ек-и Y и, (12.2.20)
~'2 r+-r_ -^00
где E — постоянная временная компонента ковариантной 4-скорости иа наблюдателя. Расходимость (или конечность) выражений (12.2.19) и (12.2.20) зависит соответственно от поведения
ек-”Х, и ек|~_.
Будем предполагать, что форма возмущающего излучения Zb03m(C) , пересекающего горизонтг+, удовлетворяет следующим условиям: Zb03m(D) = = 0 при V < V0 и ZB03M(v) при V-*00 стремится к нулю по крайней мере как и-1. Именно этим условиям и должно удовлетворять любое реальное излучение от, например, падающего в дыру объекта или какого-либо элементарного возмущения, произошедшего в области I. Действительно, второе условие должно в|>шолняться согласно исследованной нами в предыдущем параграфе асимптотики возмущающего излучения при v -*¦ °° на горизонте незаряженной черной дыры. Наличие заряда Q < M ничего не меняет в этом отношении [см., например, Бичак (1972)]. Степенное затухание ’’хвостов” излучения от возмущений типично практически для любого возмущения.
Первое условие заведомо выполняется, если под V0 понимать значение аффинного параметра, соответствующего моменту, когда горизонт пересекает первый, дошедший до него луч от возмущения *).
В работе Чандрасекара и Хартля (1982) показано, что для решений уравнения (12.2.2) с любыми индексами (±) величина Fr _ (12.2.20) остает-
ся конечной, т.е. горизонт г _ 2 устойчив относительно малых возмущений в области I. Напротив, величина Fr расходится при и по крайней
(К — К } у" 1
мере как е или еще быстрее (скорость расходимости зависит
от характера возмущения). Это означает, что с приближением к r_ j
