Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
S = Sff + Sm (11.3.4)
не убывает. Для этого заметим, что скорость (по часам удаленного наблюдателя) потери черной дырой массы и энтропии в виде излучения
263
безмассового поля спина S можно записать в виде
^-=\ashsZse\ ^ = \aspshsZse3, (11.3.5)
где hs - число поляризаций поля, Os = я2/30 для бозонов и 7эт2/240 для фермионов, Sj - эффективное сечение черной дыры, в - ее температура и Ps - безразмерный коэффициент порядка I. С другой стороны, для невращающейся черной дыры изменение ее энтропии Sh связано с изменением массы M соотношением
dSH = в'ЧМ. (1.1.3.6)
Сравнивая (11.3.5) и (11.3.6), находим [Зурек (1982)] wcm 4
R=§H= 3*» (П.з.7)
Численный счет на основе формул (9.5.28) и (9.5.39а), выполненный Зуре-ком (1982) и Пэйджем (1983), показывает, что коэффициент P всегда больше 3/4, откуда следует, что обобщенная энтропия S в процессе излучения одиночной черной дыры возрастает, Можно показать [Зурек (1982)], что если снаружи черной дыры имеется чернотельное излучение с температурой в, то обобщенная энтропия по-прежнему возрастает — за исключением
случая, когда в = в. В этом случае увеличение энтропии в окружающем черную дыру пространстве в точности компенсируется ростом энтропии черной дыры в результате аккреции на нее теплового излучения,
Приведенные соображения дают основания предположить, что выполняется
Обобщенный второй закои физики черных дыр. Для всех физических процессов с участием черных дыр обобщенная энтропия S, определяемая соотношением (11,3,4), не убывает *):
SS > 0. (11.3.8)
Современный статус этого закона в физике черных дыр в известной мере напоминает статус второго начала термодинамики до появления статистической механики. Различные мысленные эксперименты, обсуждавшиеся в литературе, его подтверждают, однако последовательный вывод этого закона из основных принципов квантовой механики и теории гравитации пока отсутствует.
Остановимся подробнее на одном из таких мысленных экспериментов [Бекенштейн (1973b, 1974)]. Представим себе, что излучение (или вещество) с энергией Em и энтропией Sm помещено в ящик,с непроницаемыми (зеркальными) стенками, и пусть этот ящик медленно опускается на невращающуюся черную дыру. В момент, когда нижняя часть ящика находится в непосредственной близости от поверхности черной дыры, в нем
*) Впервые в такой форме обобщенный второй закон был предложен Бекенштей-ном (1973b, 1974) еще до открытия квантового излучения.черной дыры.
264
открывается крышка и все его содержимое падает в черную дыру. Затем ящик поднимается обратно.
Оценим изменение обобщенной энтропии при этом процессе. Пусть все размеры ящика, в том числе и его вертикальный размер /, малы по сравнению с rg. В момент, когда нижняя грань ящика достигает черной дыры, верхняя его грань находится при г = rg + Ar, где Ar ^ I 2 /Arg. Передаваемая черной дыре энергия (с учетом красного смещения) не превосходит величины
/ г \1/2 /
е = ( 1 ) Em Ъ----Em,
\ г J 2 rg
а увеличение энтропии черной дыры 8SH4e-1e^2TTlEm.
Из приведенного рассуждения следует, что обобщенная энтропия в таком
процессе не убывает, если только справедливо неравенство Sm <2TrlEm*^.
На первый взгляд, если выбрать / достаточно малым и много меньшим остальных двух размеров ящика, то открывается возможность нарушения обобщенного второго закона. Унру и Уолд (1982, 1983а) показали, что этот вывод неверен. Дело в том, что в приведенном рассмотрении не учтены эффекты, связанные с поляризацией вакуума. Учет этих эффектов существенно изменяет ситуацию.
По предположению, стенки ящика зеркальные. При медленном перемещении ящика по мере приближения к черной дыре они испытывают все большее ускорение, а ускоренное движение зеркальных границ в результате квантового эффекта порождает потоки энергии. Этот эффект хорошо известен в плоском пространстве-времени [см. Де Витт (1975), Биррел, Девис (1982)]. Физическая причина его в следующем. При отражении излучения от зеркальной границы на ней индуцируются заряды и токи. Аналогичное явление происходит и в вакууме; при этом ’’наведенные” нулевыми колебаниями заряды и токи флуктуируют и их средние равны нулю. Если подобное тело начинает двигаться ускоренно, то ’’наведенные” заряды и токи излучают. При движении плоского зеркала с возрастающим ускорением в плоском пространстве-времени по обе стороны от зеркала имеются потоки энергии, совпадающие по направлению с вектором ускорения**).
Аналогичный эффект, как показали Унру и Уолд (1982, 1983а), имеет место и при опускании на черную дыру ящика с зеркальными границами. Поскольку ускорение нижней стенки всегда больше ускорения врехней, медленное опускание ящика приводит к дополнительному положитель-
*) Относительно ВЫПОЛНИМОСТИ ЭТОГО ограничения ДЛЯ реальных физических систем см. Бекенштейн (1982, 1983), Унру, Уолд (1983а).
**) Для скалярного безмассового поля в двумерном пространстве-времени этот
поток TuvVli— (Vli — 4-скорость, Oil - 4-ускорение) равен — (т - собственное а 12л ат
время наблюдателя на поверхности зеркала).
