Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду особой важности аксиомы параллельности исследуем несколько подробнее, на чем может быть основана ее «естественность». Для этой цели дополним только что рассмотренный пример мысленным экспериментом, который вообще не прибавит ничего нового к ранее сказанному, но зато, возможно, позволит лучше понять проблематичность «наглядности» евклидовой
28
§ 4. ВОЗМОЖНОСТЬ ОПЫТНОЙ ПРОВЕРКИ
теории параллельных. К этому эксперименту мы вернемся еще раз ниже, при обсуждении неевклидовой геометрии.
Евклидовы качели
Представим себе следующую ситуацию. На горизонтальной плоскости (на поверхности земли) укреплена вертикальная стойка OP (высотою k), на которую положена доска AB (АР = ВР = а) так, что она может поворачиваться вокруг точки Р. Если доска расположена перпендикулярно к стойке, то определяемая ею прямая L горизонтальна и, следовательно, параллельна своей проекции X на поверхность земли.
Если доска начнет поворачиваться так, что ее конечная точка А станет опускаться, то сначала доска еще не коснется поверхности земли. Ho если длина а доски будет больше высоты k стойки, то конечная точка А доски в конце концов все-таки коснется поверхности земли в точке С (рис. 2). При этом доска повернется на угол a = ZAPC=ZOCP, т. е. на угол, противолежащий
в прямоугольном треугольнике РОС катету OP = k (гипотенуза этого треугольника равна а). Таким образом, в этом положении доски прямая L уже пересекает прямую X. На вопрос, не может ли случиться, что прямая L пересечет прямую X еще до того, как конечная точка А доски коснется поверхности земли, опыт не дает никакого ответа. В самом деле, пока доска PA своим концом А еще не коснулась земли, все ее точки находятся в воздухе, т. е. расположены выше прямой X; поэтому с точки зрения заданной конкретной ситуации бес-
29
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
смысленно спрашивать, как ведет себя при качании доски ее мысленное продолжение, т. е. вся прямая L.
Ситуация изменится, если мы возьмем более длинную доску А'В' (ОА' = а'>ОА = а). При качании доски ее конечная точка А' коснется поверхности земли (в точке С') раньше, чем точка А, причем соответствующий угол поворота a'= ZA'PC'= ZOC'P будет меньше прежнего угла а (рис. 2). Следовательно, этот второй опыт показывает, что теперь для перевода прямой L в положение, при котором она пересекает прямую X, требуется поворот доски на меньший угол (а' вместо а). Точка С' пересечения прямых LnX удалена от начальной точки О больше, чем в первом опыте.
Однако опять остается нерешенным вопрос, не пересекается ли воображаемое продолжение прямой L с прямой X при еще меньшем угле поворота, чем а'.
Этот опыт можно повторить сколько угодно раз. Чем длиннее будет доска (а<а'<а"< ...), тем меньший угол поворота (сс>а'>сс"> . . .) будет достаточен для того, чтобы привести конечную точку (А, А', А", ...) доски в соприкосновение с поверхностью земли.
Проследим за этим процессом дальше. При удлинении доски ее точка пересечения с поверхностью земли (С, С', С", . ..) удаляется от точки О все дальше и дальше, и наглядное восприятие показывает, что при достаточном увеличении длины доски точка С удаляется от точки О сколь угодно далеко '). При этом угол поворота будет становиться все меньше и меньше (а>а'> Возникает вопрос: безусловно ли необходимо принять, что этот угол станет сколь угодно малым? He дает ли наше естественное, наглядно-геометри-ческое восприятие основание для предположения, что существует следующая возможность: угол а, несмотря
1) Это можно также весьма просто доказать, если принять, что теоремы евклидовой геометрии верны. Пусть стойка имеет длину ?=1; тогда, согласно теореме Пифагора, ОС = У а2 — 1 При неограниченно возрастающей длине а величина а2—I также неограниченно возрастает, и то же самое имеет место и для квадратного корня. Интересно, что этот результат остается верным н в неевклидовой геометрии. К этому обстоятельству мы еще вер-
немся ниже.
30
§ 4. ВОЗМОЖНОСТЬ опытной ПРОВЕРКИ
на то что в рассмотренном процессе он непрестанно уменьшается, тем не менее не приближается сколь угодно близко к нулю, а стремится к некоторому предельному значению «о. не совпадающему с нулем?
Первая возможность — угол а стремится к нулю, когда длина а доски неограниченно возрастает, — соответствует евклидовой точке зрения1). В самом деле, тогда прямая L будет пересекать прямую X уже при сколь угодно малом повороте а. Следовательно, горизонтальная прямая L будет единственной проходящей через P прямой, параллельной прямой X.
Вторая возможность — угол а уменьшается, но при неограниченном увеличении длины доски приближается к предельному значению сс02). не совпадающему с нулем, — соответствует «неевклидовой» точке зрения. В самом деле, если прямая L, повернувшись на угол а0, примет положение L0, то доска PA, как бы длинна она ни была, не пересечет прямую X, лежащую на поверхности земли; то же самое будет и в том случае, когда прямая L повернется на еще меньший угол, заняв при этом некоторое положение L'. Следовательно, прямая L0, а также все прямые L', проходящие внутри угла а0, ограниченного прямыми L и L0, будут параллельны прямой X, так как они — в противоположность утверждению евклидовой аксиомы параллельных — не пересекают последнюю прямую. Это означает, что человек, сидящий в конце А доски, может спокойно качаться на ней, не ударяясь о землю, как бы длинна ни была доска, правда, при условии, что качательное движение происходит в пределах малого угла а0.
