Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Такая постановка вопроса вносит в геометрическую систему совершенно новую ситуацию. На эмпирическн-наглядной ступени геометрического исследования геометрические предложения (P) выступают в качестве независимых один от другого, как бы равноценных законов природы. Логически-математическая ступень исследования вносит в это собрание законов новый внутренний порядок. Предложения (P) делятся на две группы. В первую группу входят предложения (Л), принимаемые правильными сразу, во вторую — предложения (T), которые можно вывести логически из других предложений. Первые предложения (А) называются в геометрии основными предложениями, или аксиомами, вторые (T)—выводимыми (доказываемыми) предложениями, или теоремами.
Следовательно, для построения элементарной геометрии достаточно принять за исходные только часть геометрических предложений, а именно те, которые называются аксиомами (А). Из этих основных предложений все остальные предложения (T) могут быть выведены чисто логическим путем. Таким образом, весьма большое число всех геометрических предложений сводится к системе немногих аксиом.
Как далеко может быть продолжен процесс логического сокращения числа аксиом (Л)? Вообразим, что среди предложений (А), принимаемых сразу правильными, содержится предложение A1, относительно которого на более поздней ступени геометрического исследования выясняется, что оно может быть доказано при помощи остальных аксиом. Такой оборот дела изменяет логическое место предложения A1-. поскольку оно может быть доказано, его следует исключить из группы
42
§ б. ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ
аксиом (А) и перевести в группу теорем (T). Следовательно, система аксиом (А) сократилась, а число теорем (T) увеличилось.
В результате логического сокращения числа аксиом возникает в конце концов такая конечная ситуация, при которой система аксиом (А) не содержит ни одного предложения, допускающего вывод из других аксиом. В связи с этим встает вопрос: какая имеется гарантия, что такая, с логической точки зрения идеальная, ситуация достигнута? Этот вопрос представляет собой важную, но трудную проблему. Позже мы к нему вернемся.
С другой стороны, очевидно, что не все аксиомы могут быть переведены в группу теорем Логическая дедукция представляет собой всегда нечто относительное, она требует в своем исходном пункте в любом случае каких-то основных предположений. Ex nihil nihil fit — говорили древние: из ничего ничто не возникает. Исследование этого вопроса привело к поразительному результату: выяснилось, что в геометрии процесс логического сокращения числа аксиом может быть проведен очень далеко. А именно весь массив евклидовой планиметрии может быть сведен к системе аксиом, число которых меньше десяти ').
Для правильного понимания сказанного выше важно иметь в виду также следующее. Предыдущие рассуждения могут привести к представлению, что подразделение геометрических предложений, с одной стороны, на аксиомы, а с другой — на теоремы предопределено заранее, следовательно, каждое геометрическое предложение само по себе, по своей природе, является либо аксиомой (предложением, правильность которого принимается без доказательства), либо теоремой (предложением, допускающим доказательство). Однако действительное положение вещей не таково. Подразделение на аксиомы и теоремы не является заданным абсо-
') Из основных представлений математической логики три* внально вытекает даже, что любая аксиоматическая теория может быть построена на базе системы аксиом, содержащей единственную (но, может быть, весьма сложно формулируемую) ак-» сному. — Прим. ред.
43
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
лютно; оно в известном смысле относительно. Поленим это на примере.
Евклидова система геометрии на плоскости обычно строится так, что предложение о параллельных линиях или, точнее, его вторая часть: «к прямой I через точку, лежащую вне I, можно провести только одну параллель /'» принимается за аксиому. Из этой и остальных евклидовых аксиом выводится теорема: «Сумма углов треугольника равна 180°». Однако так поступать необязательно. Последнюю теорему можно было бы принять за аксиому, и тогда можно было бы доказать предложение о параллельных линиях. Следовательно, последнее предложение стало бы теоремой.
По примеру Евклида свободу, остающуюся при установлении системы аксиом, используют для того, чтобы не только свести число аксиом к минимуму, HO и выбрать в качестве аксиом такие предложения, содержание которых возможно проще.
В разговорной речи словом «аксиома» обычно называют такое утверждение, которое само по себе очевидно или само собой понятно. Такое понимание слова аксиома происходит из геометрии. На ранних ступенях исследования понимали природу аксиом так: они представляют собой столь простые и очевидные высказывания, что не нуждаются ни в каких доказательствах. Только в конце прошлого столетия глубокий анализ основ геометрии — так называемое аксиоматическое направление — вскрыл истинную природу этих связей. Из сказанного выше вытекает, что аксиомам не следует приписывать какое-то особое положение само собой понятных предложений. В самом деле, как эмпирические правила — равноценны н «ясны» все геометрические положения. Самое большее, чем они могут отличаться одно от другого, это степенью сложности содержащихся в них утверждений [например, предложение (аксиома): «через две точки проходит точно одна прямая» в структурном отношении проще теоремы Пифагора]. Геометрические предложения принимают различное логическое положение только в дедуктивной системе геометрии. Здесь аксиомы принимаются за правильные утверждения, и из этих основных предложений
