Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Неванлинна Р. -> "Пространство, время и относительность" -> 8

Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.

Неванлинна Р. Пространство, время и относительность — М.: Мир, 1966. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvovremyaiotnositelnost1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 76 >> Следующая


Как бы ни обстояло дело со всеми этими проблемами, самые важные для нашей темы обстоятельства

25
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО

могут быть сформулированы в виде следующих трех тезисов.

Во-первых, опытное познание, получаемое в видимом и представляемом пространстве, показывает, что евклидовы предложения верны по крайней мере приближенно.

Во-вторых, принципиально невозможно эмпирически доказать полную правильность некоторых евклидовых предложений (например, теоремы о том, что сумма углов треугольника в точности равна 180°).

В-третьих, ни одно из прежних или современных наблюдений не исключает возможности неевклидовой природы пространства.

Обсуждение аксиомы параллельности

При изучении евклидовой системы геометрии с учетом возможности ее эмпирической проверки быстро обнаруживается, что она содержит положения, конкретная трактовка которых на основе нашего естественного воззрения на пространство невозможна. Прежде всего так обстоит дело с теми предложениями, которые содержат понятия, связанные с представлением о бесконечности пространства. Простым, но важным примером такого понятия является понятие параллельности прямых.

Параллельное расположение двух прямых представляет собой образ, который мы «видим» при нашем естественном геометрическом представлении пространства, не отдавая при этом себе отчета в свойствах, являющихся решающими при логическом анализе понятия параллельности. Эти свойства следующие:

1. Две параллельные прямые а и b лежат в одной плоскости.

2. Они не пересекаются, т. е. не имеется точки, которая лежит и на прямой а, и на прямой Ь.

Посредством этих свойств можно определить параллельность. Будем иметь это в виду при анализе фундаментального предложения Евклида о параллельных прямых. Это предложение гласит:

Пусть в плоскости имеется прямая а и точка P вне прямой а. В таком случае в этой плоскости имеется

2S
§ 4. ВОЗМОЖНОСТЬ ОПЫТНОЙ ПРОВЕРКИ

точно одна прямая Ъ, проходящая через точку P и не пересекающая прямой а.

Это утверждение кажется наглядно очевидным. Евклид придавал ему (точнее, утверждению, что через точку P проходит не более чем одна прямая b, параллельная прямой а) значение аксиомы, т. е. основного предложения, принимаемого без доказательства. Тем не менее содержание этого утверждения остается довольно сомнительным. В самом деле, если мы попытаемся проверить его правильность эмпирически, то сразу же натолкнемся на невозможность такой проверки. Попробуем представить ситуацию, предусмотренную предложением о параллельности, например, двумя сторонами

с D

Рис. 1.

AB и CD прямоугольного пола аудитории (рис. 1). Эти стороны кажутся параллельными, по крайней мере они не пересекаются между собой в пределах аудитории. Мы можем проследить за ними дальше, за пределами нашего замкнутого пространства. Тогда мы увидим, что их продолжения также не пересекаются. Если мы будем пытаться следить за их продолжениями еще дальше, то в конце концов они исчезнут из нашего поля зрения, и мы уже не будем знать, как они там себя ведут. Возможно, что где-то очень далеко за пределами аудитории они все-таки пересекутся! Следовательно, мы не можем исключить возможности того, что через точку А нельзя провести ни одной прямой, параллельной CD, а в этом случае та часть предложения о параллельности, которая утверждает существование параллельных прямых, была бы опровергнута.

Аналогичное рассмотрение показывает, что и второе утверждение Евклида, а именно что через точку P про-

27
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО

ходит не более чем одна прямая Ь, параллельная а (это и есть евклидова аксиома параллельности), не может быть эмпирически непосредственно проверено. В самом деле, если мы будем считать, что прямые AB и CD параллельны, то как мы можем установить, что в рассматриваемой плоскости через точку А не проходят другие прямые, также параллельные CD? Для того чтобы проверить это эмпирически, проведем в плоскости пола через точку А прямую а, пересекающую прямую AB под углом а. Если угол а небольшой, то прямая а не пересечет прямой CD в пределах аудитории. Если мы продолжим прямую а за пределы аудитории, то, возможно, обнаружим, что она пересекает прямую CD. Тогда утверждение аксиомы параллельности будет спасено, но только для прямой а. Если направление прямой а будет отличаться от направления прямой AB на угол, меньший а, то точка пересечения этих прямых отодвинется дальше вправо, н так как эмпирически мы не можем проследить за прямой CD сколь угодно далеко, то сразу же возникнет вопрос: не может ли случиться, что прямая а, если ее направление будет отличаться от направления AB очень мало, вообще не пересечет прямой CD.

Таким образом, наглядность аксиомы параллельности остается сомнительной, хотя в то же время мы имеем естественную, представляющуюся почти неоспоримой наклонность считать евклидову аксиому параллельности правильной. Эта наша наклонность бесспорно является лишь «психологическим фактом». Наше наглядное представление об идеальной прямой неразрывно связано с представлением, что даже при сколь угодно малом повороте прямой AB вокруг точки А повернутая прямая обязательно пересечет прямую CD хотя бы в очень далекой точке.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed