Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
44
5 б. ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ
выводятся путем логических умозаключений остальные предложения (теоремы). Однако, как было уже отмечено выше, при этом следует иметь в виду, что логическое подразделение предложений на аксиомы и теоремы может быть осуществлено весьма различными способами.
Редуцирование (сведение) геометрической системы к некоторому небольшому числу основных понятий имеет место не только для предложений. Путем аналогичного логического процесса происходит также редуцирование геометрических объектов и отношений к некоторым основным объектам и основным отношениям (CM. § 1 настоящей главы). Редуцирование предложений производится путем доказательств, а редуцирование объектов и отношений — путем определений.
Поясним последний процесс примером. Видимый образ окружности нам хорошо знаком. Среди других замкнутых линий окружность выделяется своей равномерной, простой «округлостью». Если мы рассматриваем окружность или мысленно представляем ее себе, то узнаем ее именно как окружность исключительно благодаря ее красивой округлости, не задумываясь при этом о ее других свойствах. Между тем важным свойством окружности является то, что у нее имеется центр О и что ее радиусы (отрезки, соединяющие центр с точками окружности) одинаковы по длине (конгруэнтны). Это наблюдение позволяет нам определить окружность, не учитывая ее качественной особенности, как множество всех точек, расположенных на одном и том же расстоянии от заданной точки О. В результате такого определения окружность перестает быть самостоятельным объектом: она оказывается сведенной к некоторым другим объектам и отношениям, а именно к объектам «точка» и «отрезок» и к отношению «кон-, груэнтность». Первоначальный же признак окружности — свойственный ей видимый образ, ее совершенная округлость — исключается. Это качество окружности теперь уже не является ее существенным свойством, оно заменяется теми представлениями, которые мы связываем с понятиями «точка», «отрезок», «конгруэнтность» и на которых основано определение окружности.
45
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
Таким образом, подобно тому как все многообразие геометрических предложений сводится посредством логического анализа к сжатой системе аксиом, из которых все остальные могут быть выведены путем логической дедукции (т. е. могут быть доказаны), так и большая часть геометрических объектов и отношений может быть сведена к небольшому числу основных объектов и основных отношений, позволяющих дать логическое определение всех остальных объектов и отношений.
Выбор основных объектов и основных отношении, как и выбор системы аксиом до известной степени произволен.
Мы уже упомянули, что логическая база евклидовой системы планиметрии может быть сведена к числу аксиом, меньшему десяти. Еще меньше число основных объектов и основных отношений. В качестве основных объектов можно взять только два: точку и прямую. В качестве основных отношений можно выбрать три следующие ’):
1. Отношение связи — «Точка лежит на прямой» (или, другими словами, прямая проходит через точку).
2. Отношение порядка — «Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна (и только одна) лежит «между» двумя другими».
3. Отношение конгруэнтности — «Два отрезка конгруэнтны».
В формулировку последнего отношения входит новый объект — «отрезок». Однако это понятие используется только ради сокращения формулировки. «Отрезок» не является основным объектом, так как он может быть определен при помощи основного объекта «точка» и основного отношения порядка. В самом деле, под отрезком можно понимать просто две точки А и В (ко-
') Автор придерживается системы аксиом геометрии, идущей от знаменитого немецкого математика Давида Гильберта (1862—1943) (см. его книгу [2] в списке литературы на стр. 223). Между тем еще один из предшественников Гильберта в области оснований геометрии итальянец М. П ь е р р и указывал, что всю евклидову планиметрию можно базировать на единственном основном объекте «точка» и на единственном основном отношении (А, В, С), означающем, что AB=AC. — Прим. ред.
46
§ 6. ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ
печные точки отрезка), а остальные его точки определить при помощи отношения порядка: они лежат «между» А и В. Если заменить слово «отрезок» понятием «пара точек» (А, В), то сразу будет видно, что отношение конгруэнтности действительно относится только к множеству основных объектов «точка» и «прямая».
Мы зашли бы слишком далеко, если бы решили перечислить в этой книге все аксиомы геометрии Евклида. Выше мы уже привели две важные аксиомы: предложение 1 и аксиому параллельности (стр. 12 и 26—27). Эти аК’ сиомы описывают некоторые свойства отношения связи '),
Полная система аксиом содержит сверх имевшихся еще у Евклида аксиом также некоторые другие аксиомы, устанавливающие свойства отношений порядка и конгруэнтности. С этой точки зрения система аксиом Евклида была несовершенна. Это обстоятельство нашло свое отражение и в школьных учебниках геометрии. В них основному отношению порядка почти не уделяется внимания, и связанные с этим отношением геометрические обстоятельства специально не оговариваются: они вводятся в геометрию как наглядные и очевидные.
