Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
P и с. 5.
соответствовать определенная точка P южной полусферы. Это означает, что между обеими поверхностями, т. е. плоскостью и полусферой, существует, как принято говорить в математике, «взаимно однозначное соответствие».
Вообразим теперь, что сфера спроектирована назад на плоскость Т, но на этот раз из центра проекций, совпадающего с северным полюсом N сферы. Проекция P точки P теперь отобразится в точку пересечения P' прямой NP с плоскостью Т. Южной полусфере будет соответствовать в плоскости T круг, ограниченный образом экватора, т. е. окружностью К. Дуга APB большого круга перейдет в круговую дугу V плоскости Т, ограниченную двумя диаметрально противоположными точками А' и В' окружности К.
Таким образом, вся плоскость T в результате двукратного последовательного центрального проектирова-
50
$ 7. ИСТОЛКОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИИ
ніш (сначала с центром проекций в точке О, а затем — в точке N) отображается на область, заключенную внутри окружности К. При этом прямые I плоскости T переходят в круговые дуги I', пересекающие окружность К каждый раз в двух диаметрально противоположных точках. Если точка P будет удаляться с постоянной скоростью в бесконечность, то ее изображение P' будет все медленнее и медленнее перемещаться к окружности К. Следовательно, окружность К соответствует «бесконечно удаленным точкам» плоскости Т.
Будем называть точку P', являющуюся изображением точки Р, по-прежнему «точкой», а дугу I', представляющую собой изображение прямой I,— по-прежнему «прямой». Тогда, применяя нашу обычную геометрическую терминологию, мы сумеем описывать геометрические события в плоскости посредством событий, происходящих в круге К, представляющим собой изображение плоскости Т. При этом не может возникнуть никаких противоречий: все правила, действующие в плоскости Т, будут применимы и в круге К.
В евклидовой плоскости имеет место аксиома параллельности: через точку P1, лежащую вне прямой I, проходит точно одна прямая I1, параллельная I. То же самое имеет место и в круге К: через «точку» Pi, лежащую вне «прямой» I', проходит точно одна «прямая» Ii (т. е. круговая дуга, пересекающая периферию круга К в диаметрально противоположных точках), не встречающая прямую 1' внутри круга К (рис. 6).
Следовательно, внутренняя область круга К представляет собой изображение евклидовой плоскости, которым можно пользоваться так же, как и первоначальной плоскостью Т. На это могут возразить, что круг К все же не является «настоящей» евклидовой плоскостью, так как «прямые» I' «в действительности» не являются прямыми и, кроме того, они не бесконечно длинные, как это должно быть в соответствии с нашим естественным, наглядно-геометрическим представлением. В таком случае вообразим себе на минуту следующую картину. Пусть сфера изготовлена из какого-нибудь прозрачного материала, например из стекла. Если
51
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
луч света PO встречает сферу в точке Р, то он преломляется. Предположим, что закон преломления света при прохождении через стекло таков, что преломленный луч света PN проходит через северный полюс N. Тогда наблюдатель, находящийся в точке N, увидит точку P в направлении NP, поэтому ему будет казаться, что точка P переместилась внутрь круга в положение P'.
Прямая I ему будет казаться искаженной в виде круговой дуги V. Следовательно, нашему наблюдателю геометрия плоскости T будет представляться в виде искаженной геометрии внутренней части круга К.
Удалим теперь преломляющую сферу. Тогда наблюдатель в точке N увидит события в плоскости T опять «естественными», совпадающими с «настоящими», наглядными геометрическими представлениями. Отсюда следует, что кажущийся вид вещей зависит в общем случае от того, через какие очки мы рассматриваем мир.
Рассмотрим еще один пример. Вообразим, что собравшиеся здесь лица вместе обсуждают вопросы геометрии и пусть среди собравшихся имеется один иностранец, не понимающий немецкого языка. Для того чтобы он мог принять участие в разговоре, я предварительно обучу его некоторым немецким геометрическим терминам, но в несколько искаженном виде. Я от-
52
5 7. ИСТОЛКОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
мету на доске две точки PhQh скажу: такие объекты по-немецки называются «прямыми» («Geraden»). Затем я покажу ему прямую I и объясню, что такая фигура называется «точкой» («Punkt»), т. е. я придам указанным терминам обратный по сравнению с немецкой речью смысл. Далее, я скажу ему, что взаимное отношение объектов P и / на рис. 7 выражается словами: «прямая P проходит через точку /» (или «точка» I лежит на «прямой» Р). Наконец, я скажу ему, что «прямая» Q не проходит через «точку» I (или «точка» I не
лежит на «прямой» Q). Предположим, что иностранец заучил неверные названия перед предстоящим обсуждением.
Теперь я вычерчу на доске фигуру (рис. 8), образованную тремя точками (А, В, С) и тремя отрезками (а, Ь, с), и затем спрошу: «Верно ли, что прямая а проходит через точки В и С?» Все присутствующие подтвердят это и, как ни странно, в том числе и иностранец, воспринявший мой вопрос совершенно неверно. В самом деле, когда я говорил «прямая а», он рассматривал точку А, когда я говорил «точки В и С», он обращал свое внимание на прямые b и с. Следовательно, услышав вопрос, проходит ли прямая а через точки BwC, он рассматривал точку А и прямые b и с и, в соответствии с заученной им терминологией, видел, что названная сначала «прямая» А действительно проходит через названные потом «точки» бис.
