Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Переход от одного толкования к другому предпринимается всегда в тех случаях, когда общая теория применяется к какой-нибудь новой теоретической или практической области. Именно таким путем математи-чески-логическое исследование позволяет при создании своих абстрактных общих теорий дать сведениям, собранным в этих теориях, такие возможности применения, которые выходят далеко за пределы первоначальной области применимости теории в ее сыром, натуральном состоянии. Научные исследования движутся вперед благодаря теоретико-познавательному интересу. Свой же пафос они получают от предвидения, что теоретическая работа является не только возвышенной самоцелью, но и средством для получения новых результатов общего характера, в том числе и практических, и притом таких, которые могут раскрыть совершенно неожиданные связи первоначальной области ис-
59
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
следования с другими областями, не имеющими с первой казалось бы никаких точек соприкосновения.
Ниже мы увидим, что теория относительности Эйнштейна в существенном основана на переходе от одного толкования к другому, а именно к толкованию геометрии в области физических событий, о возможности которого раньше и не подозревали.
§ 8. Геометрия как математическая теория
Сделам обзор изложенного в предыдущих параграфах и одновременно дополним обсуждавшиеся выше особенности.
Мы видели, каким образом элементарно-геометрическая структура может быть выражена в различных материальных образах. «Суть» геометрии следует искать в общем строении различных изоморфных образов. При этом следует отвлечься от — если так можно сказать — случайных качественных различий геометрических объектов и отношений, проявляющихся в рассматриваемых образах, и сохранить только то, что является общим для различных «толкований».
Что же остается в качестве признака понятия «точки», если это понятие можно интерпретировать так свободно, как это было сделано при рассмотрении различных «изображений»? В самом деле, один раз мы рассматривали точку как «место» в видимом, или воспринимаемом, пространстве, в другой раз — как «прямую», в третий раз — даже как шар. Что общего, в конце концов, имеют эти символы? Очевидно, немного, однако, несмотря на это, все же нечто весьма важное: точки суть именно объекты, какие-то объекты, от особых качественных свойств которых геометрия отвлекается. В качестве их единственного существенного признака остается только один признак: «точки» представляют собой
как бы самостоятельно существующие «индивидуумы», которые можно отличать один от другого. Это означает следующее: в геометрии принимается, что относительно двух точек А и В a priori задано или известно, различны ли они или идентичны (в последнем случае, применяя геометрическую терминологию, говорят, что они
60
§ 8. ГЕОМЕТРИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
«совпадают») '). Имеют ли они, кроме того, форму «точки», «линии», «шара» или какого-нибудь другого объекта — с точки зрения дедуктивной системы геометрии не имеет значения.
«Прямые» также определяются как множество некоторых объектов или предметов. И они принимаются за самостоятельно существующие «индивидуумы», которые можно отличать один от другого. Их множество образует собственный индивидуальный вид наряду с множеством «точек».
Давид Гильберт (1862—1943) начинает свое изложение евклидовой геометрии пространства, появившееся в начале текущего столетия и проложившее в геометрии новые пути, следующими словами: «Вообразим себе три рода вещей, которые будем называть точками, прямыми и плоскостями», и далее «Между этими вещами пусть существуют определенные отношения». Затем Гильберт вводит основные отношения: связи, порядка и конгруэнтности (см. стр. 46). И наконец, перечисляет принятые основные предложения (аксиомы), которым подчиняются основные объекты и основные отношения.
На основе сказанного выше ясно, как следует понимать основное предположение Гильберта об основных объектах. Напротив, на понятии «отношение» следует остановиться подробнее.
Если мы уславливаемся не связывать с основными объектами «точка» и «прямая» первоначальные «геомет-
’) Такого рода совокупности, образованные объектами произвольной природы, исследуются в так называемой общей теории множеств. Наиболее простые множества конечны: они содержат конечное число объектов, например десять или миллион и т. д. Наиболее трудные проблемы теории множеств относятся к бесконечным множествам, содержащим неограниченное число объектов. К числу последних множеств относятся множества основных объектов геометрии (точек, прямых). Это соответствует нашему естественно-наглядному представленню (см. в связи с этим сказанное по этому поводу на стр. 20), и это можно доказать, исходя из аксиом геометрии. Правда, современные аксиоматические исследования рассматривают также такие геометрические системы, которые не совпадают с евклидовой системой и которые содержат только конечное число основных объектов (так называемые «конечные» геометрии).
61
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
рические» свойства, то, очевидно, отношение «точка лежит на прямой» также нельзя больше толковать в соответствии с его естественно-геометрическим представлением. В таком случае возникает вопрос, как же именно следует понимать слово «отношение»?
