Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
На это замечание не следует смотреть как на критику школьного преподавания геометрии. Как устранить указанный пробел в классическом изложении Евклида, окончательно выяснилось только в нашем столетии благодаря исследованию аксиоматических основ геометрии. К школьному преподаванию на его нижней ступени нельзя предъявлять строжайших логических требований. Наоборот, из дидактических соображений требуется определенный компромисс между эмпирическим и логическим подходами. Для начального изложения следует отбирать некоторое количество наглядного материала и применять его, не выясняя полностью тех логических проблем, которые с этим материалом связаны*
') Отметим (см. стр. 26), что отношение параллельности действительно может быть определено посредством отношения СВЯЗИ! прямые а и b параллельны, если не имеется ни одной такой точки Р, которая находилась бы в отношении связи с обеими прямыми.
47
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
Тем не менее и при начальном обучении следует возможно раньше переходить к дедуктивному методу. В самом деле, выше мы уже отметили, что геометрия, как собрание эмпирических предложений, представляет собой довольно бедное и мало интересное учение. Свое глубокое и важное значение она получает благодаря тому, что допускает полное разъяснение своей внутренней логической структуры. В этом отношении система Евклида представляет собой идеал, всегда служивший образцом для научного исследования.
§ 7. Истолкование основных геометрических понятий
Анализ элементарных геометрических фактов приводит к концентрации их, к выявлению основной роли сжатой системы, состоящей из некоторого небольшого числа основных объектов, основных отношений и основных предложений (аксиом). Как только эта основная система установлена, мы можем пойти обратным путем
и, используя логическую дедукцию и определения, вывести из этой основной системы все учение Евклида. Таким образом, система аксиом содержит в себе по существу всю элементарную геометрию.
Правда, обнаружить это непосредственно нельзя. Только путем строгого проведения цепи утомительных доказательств и последовательных определений можно убедиться в том, что какое-нибудь сложное геометрическое предложение (вспомним, например, теорему Пифагора) утверждает по существу то же самое, что неявно уже содержится в простых правилах (аксиомах), относящихся к основным объектам и основным отношениям.
«Логически развернутую» указанным способом теорему Пифагора сформулировать и понять значительно труднее, чем ту же теорему в ее естественной эмпирической интерпретации, допускающей при помощи некоторых простых измерений непосредственную наглядную проверку (см. стр. 12). Это обстоятельство объясняет, почему дедуктивный математический метод как противоположность непосредственному восприятию и наблюдению редко пользуется успехом у молодых, а также у взрослых людей, скорее даже наоборот, чаще он вызывает у них
48
5 7. ИСТОЛКОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИИ
антипатию. В самом деле, каждому преподавателю математики приходится слышать от своих учеников неизменный вопрос: «Зачем нас заставляют доказывать путем сложных рассуждений теоремы, и без того наглядные, очевидные и сами собой понятные?». Этот вопрос естественен и его не следует безразлично или высокомерно отклонять. Впрочем, ученики, задающие такой вопрос, находятся в хорошем обществе: то же самое спрашивали и некоторые выдающиеся мыслители. Так, например, в свое время Шопенгауэр думал, что дедуктивный, математический метод в геометрии пригоден только для того, чтобы сами собой понятные, ясные вещи делать сложными и туманными. С аналогичным недоверием относился к точному естествознанию также Гёте. Обладая редкой способностью зрительного наблюдения, он пытался развить оптику из непосредственного «видимого» восприятия, пренебрегая физическими теориями света, построенными Гюйгенсом и Ньютоном на основе механических аналогий и математической дедукции 1J.
История решила этот спор в пользу Евклида, Ньютона и Гюйгенса. В глубоком смысле этого слова они были «провидцами»: последующие исследования развивались в намеченных ими направлениях. Этот путь оказался нелегким. Успехи естествознания в основном были обусловлены тем, что теоретическое рассмотрение проникло глубоко под тот поверхностный слой, который был достижим и доступен для непосредственного наблюдения.
Однако рассматриваемый вопрос не так легко понятен; поэтому поясним его при помощи некоторых простых мысленных экспериментов.
Вообразим плоскость T и принадлежащие ей геометрические объекты: точки Р, прямые I и т. д. В точке S плоскости построим касающуюся плоскости сферу с центром О и диаметром SN (рис. 5). Спроектируем
1) Созданные Ньютоном (корпускулярная) и Гюйгенсом (волновая) теории света расходились в своих основах, но обе имели характер теоретических построений. Принятая в настоящее время теория света в известном смысле объединяет эти теории. — Прим. ред.
49
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
плоскость на сферу, выбрав в качестве центра проекций точку О. Проекцией точки P плоскости T будет точка P сферы. Вся плоскость T отобразится на нижнюю половину сферы. При этом прямой I плоскости T будет соответствовать на сфере половина дуги большого круга. «Бесконечно удаленные точки» прямой I отобразятся в концевые точки А п В того диаметра экватора сферы, который параллелен прямой I. В результате такого отображения каждой точке P плоскости T будет
