Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
В этом нет ничего удивительного. Теперь немного изменим эту воображаемую вселенную. А именно, пусть на этот раз она состоит из пространства, заключенного внутри стеклянного кольца, т. е. напоминает внутреннюю область автомобильной камеры (рис. 3). Опять предположим, что в этой вселенной наблюдаются прежние явления деформации, следовательно, поверхность кольца воспринимается воображаемыми существами, заключенными в этой вселенной, как «бесконечная даль».
Однако легко видеть, что «кольцевая вселенная» имеет существенно другую структуру по сравнению с «шаровой вселенной» или нашей евклидовой вседен-
36
§ 5. ПРИНЦИПЫ, УПРАВЛЯЮЩИЕ ОБРАЗОВАНИЕМ ПОНЯТИИ
ной. Если из какой-нибудь точки P мы проведем замкнутую линию, то в евклидовом пространстве можно, сохраняя неизменным положение точки Р, так непрерывно стягивать проведенную линию, что в конце концов она сольется с точкой Р. В кольцевой вселенной это «евклидово» свойство соблюдается не во всех без исключения случаях. Правда, и в этой вселенной существуют замкнутые линии (например, линия а на рис. 3),
которые можно стянуть в точку Р. Ho этого нельзя сделать с линией |3, один раз «окружающей» кольцо и только потом возвращающейся в исходную точку. Как бы ни деформировать петлю р, не разрывая ее, довести ее целиком до начальной точки невозможно. Следовательно, в этом отношении кольцевая вселенная не обладает евклидовой структурой ]).
') Важная ветвь современной геометрии занимается геометрическими свойствами, остающимися неизменными, или инвариантными при непрерывной деформации рассматриваемых фигур (путем стягивания или растяжения без разрыва). Эта ветвь геометрии называется топологией. Следовательно, можно сказать, что евклидово пространство и кольцевое пространство отличаются одно от другого своими топологическими свойствами. [О топологии см., например, Болтянский В. Г. и Ефремович В. А., Очерк основных идей топологии, сб. «Математическое просвещение», вып. 2, М., Гостехиздат, 1957, и последующие выпуски. — Прим. ред.]
37
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
Как наблюдатели, находящиеся снаружи кольцевого пространства, мы сразу замечаем его неевклидову топологическую структуру. Ho каким будут считать свое пространство жители этой воображаемой вселенной? Представим себе, что они живут на маленькой планете Р, являющейся для них «Землей». Здесь они занимаются геометрией и астрономией, наблюдают свою солнечную систему и свои неподвижные звезды, отмеченные иа рис. 3 маленькими кружками. Предположим теперь, что небесные тела кольцевой вселенной расположены сравнительно близко (с нашей точки зрения!) к «Земле», так, как это показано на рис. 3. Миниатюрные существа кольцевой вселенной, производя свои астрономические исследования с помощью своих телескопов, не откроют кольцевую структуру своего пространства її будут, без сомнения, считать его евклидовым в точности так же, как мы — свое пространство. В самом деле, они будут стремиться к идеальному, «глобальному» пониманию своего пространства, и принцип экономии приведет их к принятию евклидова представления о пространстве, так как евклидово пространство, поскольку в нем не существует замкнутых траекторий типа р, проще кольцевого пространства. Лишь после того, как миниатюрные существа настолько овладеют искусством «космического» полета, что сумеют облететь свою кольцевую вселенную,* они узнают, что их прежнее, евклидово понимание своего пространства было неверно. Только тогда они вынуждены будут подумать о новом, более верном понимании своего кольцевого пространства.
Было бы неправильно рассматривать такой мысленный эксперимент только как игру фантазии. В самом деле, быть может мы сами являемся жителями кольцевой вселенной, еще не знающими о существовании траекторий типа р, так как наш опыт ограничен пока слишком небольшой частью нашей вселенной. Поэтому возможности рассмотренного вида должны по серьезному учитываться при исследовании пространства. Именно так и случилось в современной космологии после того, как возникла общая теория относитель-
38
§ 6. ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ
ности, открывшая новые перспективы также для исследования топологических свойств пространства.
Изложенные выше соображения, возможно, помогут правильнее понять принуждающую силу евклидова представления о пространстве. 'Иммануил Кант (1724—1804) в своей «Критике чистого разума» априори возвел евклидову структуру пространства в категорию свойств, не зависящих от опыта. Пятьдесят лет спустя была открыта возможность существования неевклидовой геометрии. От воззрения Канта на пространство пришлось отказаться. Тем не менее тезис Канта позволяет многое понять.
Особое, «априористическое» положение евклидова понимания пространства объясняется, в свете сказанного выше, фундаментальными принципами, управляющими образованием человеческих понятий. «Априори» лежит не в области логического и даже не в области рационально представимого; оно сводится к «психологическому» обстоятельству, к преобладающей тенденции человеческой психики строить мир понятий на основе принципов дополнения, идеализации и экономии.
