Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Легко убедиться, что и все другие наблюдения, которые можно было бы сделать на основе вычерченной фигуры, окажутся обоснованными также в том случае, если они будут восприниматься в неверной интерпретации иностранца. Таким образом, дискуссия о геометри-
P и с. 7.
Рис. 8.
53
ГЛ, I. ПРОСТРАНСТВО
ческнх свойствах нашей фигуры может быть продолжена, и при этом участники дискуссии даже не догадаются, что они толкуют утверждения, принимаемые верными (или неверными), совершенно по-разному.
Объясняется это тем, что наша фигура была намеренно выбрана специальным образом. Она обладает особым свойством: в ней объекты «точка» и «прямая» можно менять ролями, причем все, касающееся отношения связи («точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку»), сохраняет свою силу и после перемены ролями точек и прямых ').
Таким образом, мы выяснили, что по крайней мере в рассмотренном нами случае совершенно неважно, lZro-бы «точка» воспринималась в соответствии с нашим естественным, наглядно-геометрическим представлением, как обладающая качеством «точечности», а «прямая» — как обладающая качеством «прямизны», присущей одномерной линии.
Теперь нетрудно понять, что при толковании основных геометрических понятий можно полностью освободиться от наглядно-геометрических представлений, связанных с этими понятиями. Изменим рассмотренную выше фигуру следующим образом. Пусть перед нами лежат шесть шаров, из них три белых А, В, С и три черных а, Ь, с. Далее представим себе, что определенные белые шары связаны нитями с определенными черными шарами, как это показано на рис. 9.
Теперь введем соглашение: белые шары будем называть «точками», а черные — «прямыми» и далее, если нить идет от белого шара к черному, то будем говорить: первый названный объект («точка») лежит на втором названном объекте (на «прямой»). Напротив, если такое соединение отсутствует, то будем говорить: «точка не лежит на прямой».
Рассмотрев эту фигуру, мы увидим, что и при таком толковании сохраняются все те правила, которые были найдены для фигуры, изображенной на рис. 8. Следо-
*) Возможность такой перемены ролей представляет собой важный принцип, называемый «принципом двойственности»; он имеет место, например, в проективной геометрии.
54
§ 7. ИСТОЛКОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
вательно, дискуссию о геометрических свойствах фигуры, изображенной на рис. 8, можно с таким же успехом вести, пользуясь фигурой, изображенной на рис. 9.
Причина этого заключается в следующем: рассмотренные три системы, а именно два «толкования» фигуры на рис. 8 и толкование фигуры на рис. 9 обладают одной и той же логической структурой. Они структурно подобны между собой, или, ссли воспользоваться научной терминологией, изоморфны между собой. Это означает, что объекты систем соответствуют
Рис. 9.
один другому взаимно однозначно (точки А, В, С на рис. 8 соответствуют «точкам» Л, В, С на рис. 9; прямые а, Ь, с на рис. 8 соответствуют «прямым» а, Ь, с на рис. 9). Основное отношение связи для каждой системы также определено таким образом, чтобы при различном толковании соблюдалось соответствие между тем или иным отношением связи. Следовательно, отношения связи соблюдаются при всех трех толкованиях. Если теперь мы будем называть соответствующие один другому объекты (точки, прямые) и соответствующие одно другому отношения (связи) одинаковыми словами, то все утверждения, правильные для одной из трех систем, будут правильными также для двух остальных систем. Следовательно, безразлично, на какой системе производится интерпретация утверждений.
Из аналогичных соображений изоморфны между собой также системы (фигуры) T и К, рассмотренные в первом примере (рис. 5).
При построении таких изоморфных между собой систем используется фундаментальный общий принцип отображения, с которым мы уже неоднократно встре-
65
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
чались выше по разным поводам. Вообразим, например, ландшафт и его фотографический снимок. Объектам и отношениям в ландшафте соответствуют объекты и отношения на снимке. Будем называть соответствующие объекты (и отношения) ландшафта и снимка одинаковыми словами. Например, изображение дерева ландшафта будем называть также «деревом», а не «изображением дерева» (на практике мы поступаем именно таким образом). В таком случае система, представляемая снимком, и первоначальная система, представляемая ландшафтом, будут между собой изоморфны. Структуру системы-оригинала мы можем изучать с одинаковым успехом и по изображению, и по оригиналу, хотя оригинал и изображение во многих для нас несущественных отношениях все же отличаются один от другого. Например, натуральное дерево, во-первых, больше дерева на снимке, во-вторых, представляет собой трехмерное тело, а не двумерную плоскую фигуру, как дерево на снимке, в-третьих, окрашено в разные цвета, а не только в черный и белый, как дерево на снимке и т. д.
Важная роль принципа изоморфизма заключается в том, что он позволяет передавать заданное положение вещей на различных языках. И здесь мы имеем «системы», воплощенные в различных «материальных» образах, например в немецких и французских словах. Изоморфизм этих различных языковых изображений по-прежнему недоступен непосредственному рассмотрению. Он обнаруживается только в том случае, если наблюдатель имеет в своем распоряжении шифр, т. е. словарь, осуществляющий соответствие объектов обоих изображений и устанавливающий изоморфизм между двумя системами. В точности так же мы поступили для установления изоморфизма между фигурами, изображенными на рис. 8 и 9: мы перечислили понятия, которым придали один и тот же смысл, хотя для непосредственного наблюдения они были совершенно различны (точки, прямые, отношения связи).
