Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Неванлинна Р. -> "Пространство, время и относительность" -> 24

Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.

Неванлинна Р. Пространство, время и относительность — М.: Мир, 1966. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvovremyaiotnositelnost1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 76 >> Следующая


Восторженное письмо Бойяи-сына не встретило у отца особого сочувствия. Он предостерегал сына и призывал его прекратить свои исследования. «Многие из выдающихся исследователей всех времен, — так писал он, — напрасно трудились над этим вопросом», а сам он тоже пожертвовал таким исследованиям много лет, не получив ни малейшего успеха. Однако молодой Бойяи не послушался совета отца и попросил его переслать описание новой теории на оценку Гауссу в Гёттинген. Бойяи-отец выполнил просьбу сына. В своем ответе Бойяи-отцу Гаусс похвалил работу сына, назвав ее гениальной. Однако он добавил, что в своей оценке он должен быть сдержанным, так как у него нет желания хвалить самого себя: он сам получил эти же результаты уже много лет тому назад.

Из ознакомления с оставшимися после Гаусса записками выяснилось, что Гаусс уже давно знал о возможности неевклидовой геометрии, следовательно, и о логической независимости аксиомы параллельности от остальных аксиом Евклида. К этим результатам он пришел, без сомнения, самое позднее в годы 1810—1826, в которые он создал свою знаменитую теорию поверхностей и тем самым открыл перед геометрическим исследованием совершенно новые пути.

Несмотря на это, Бойяи младшему принадлежит незабываемая заслуга самостоятельного открытия неевклидовой геометрии и ее синтетического построения. Правда, эту заслугу он должен разделить с другим исследователем. Русский математик Николай Лобачевский (1792—1856) открыл неевклидову геометрию почти одновременно, ничего не зная о попытках Гаусса и Бойяи ').

Таким образом, возникновение неевклидовой геометрии является удивительным результатом неудавшихся

') Н. И. Лобачевскому принадлежит бесспорный приоритет в части публикации его результатов (статья «О началах геометрии» 1829 г.). В связи с этим соответствующая геометрическая система чаще всего называется «неевклидовой геометрией Лобачеи* ского». — Прим. ред.

70
§ 9. ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОП ГЕОМЕТРИИ

попыток доказать, что аксиома параллельности представляет собой следствие других евклидовых аксиом. При этих попытках естественно было применять так называемый косвенный метод доказательства. Этот метод основан, как известно, на следующей идее.

Для того чтобы доказать аксиому параллельности, сначала предполагают, что верна ее логическая антитеза. Это противоположное утверждение гласит: «Через точку Р, не лежащую на прямой /, проходит несколько (следовательно, по крайней мере две) прямых, параллельных Ь. Затем из этой «неевклидовой» антитезы и остальных евклидовых аксиом выводят логические следствия в виде дальнейших теорем. Сторонник правильности только евклидовой геометрии будет ожидать, что в конце концов будет получен невозможный результат, т. е. будут выведены две теоремы, содержащие очевидное противоречие. Если такое противоречие действительно обнаружится, то это даст основание сделать заключение: так как антитеза привела к логическому противоречию, то она неверна, следовательно, ее логическая противоположность, т. е. евклидова аксиома параллельности, верна, что и требовалось доказать1).

Идя указанным путем, Бойяи и Лобачевский выводили из антитезы аксиомы о параллельных все новые и новые следствия. Как и исходная предпосылка, эти следствия (большей частью) отличаются от евклидовых теорем. Приведем некоторые примеры.

') Строго говоря, последнее заключение не обязательно. Если рассмотренный выше путь приводит к противоречию, то это означает в сущности только следующее: система, предусмотренная антитезой, т. е. противоположность аксиомы параллельности вместе с остальными евклидовыми аксиомами, как целое противоречива и поэтому должна быть отброшена. Однако это еще не гарантирует, что евклидова система (аксиома параллельности вместе с другими евклидовыми аксиомами) приемлема («правильна»). В самом деле, должна учитываться также возможность, что и в евклидовой системе содержится противоречие. В таком случае должна быть отброшена и эта система. Следовательно, применение непрямого способа заключения в качестве вспомогательного средства для построения теории заранее предполагает, что теория непротиворечива. Отсюда видно, насколько важен упомянутый на стр. 67 логический вопрос о непротиворечивости.

71
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО

1. Через точку Р, лежащую вне прямой I, проходит бесконечное число (а не только две) прямых, параллельных I. Эти прямые лежат внутри пары вертикальных углов, образованных двумя предельными параллелями.

2. Сумма углов треугольника всегда меньше 180°. Отклонение от этого значения (так называемый «угловой дефект» треугольника) прямо пропорционально площади треугольника. Угловой дефект приближается к 180° для очень больших треугольников. Следовательно, для таких треугольников сумма углов почти равна нулю.

3. Геометрическим местом точек, равноудаленных от прямой (и лежащих в одной и той же плоскости, проходящей через рассматриваемую прямую), является не прямая (как в евклидовой геометрии), а изогнутая линия (так называемый гиперцикл, или эквидистанта).

4. Кривой, пересекающей семейство параллельных прямых под прямым углом, является не прямая, а изогнутая линия (так называемый орицикл, или предельная линия).
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed