Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, рассмотрим рис. 11, изображающий тетраэдр, следовательно, тело в пространстве. Однако на минуту будем понимать этот рисунок, как плоскую систему, состоящую из четырех «точек» А, В, С, D и шести «прямых» а, Ь, с, d, е, f. Отношение связи будем интерпретировать так же, как и в пространственном изображении тетраэдра (через каждую точку проходят точно три прямые).
') Дальнейшие рассуждения можно вести также на основе рис. 8, который изоморфен с рис. 9.
64
§ S. ГЕОМЕТРИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Сразу видно, что и в этой системе через каждые две точки проходит точно одна прямая. Ho в этой системе удовлетворяется также аксиома параллельности (например, среди трех прямых Ь, с, е, проходящих через лежащую вне прямой а точку А, имеется точно одна прямая, не пересекающая прямую а, следовательно, параллельная прямой а).
Таким образом, система, изображенная на рис. 11, в отношении аксиомы параллельности — евклидова.
D
P и с. 10. P и с. 11.
Было бы весьма поучительно исследовать эту систему посредством изоморфной с ней системы, в которой точки и прямые представлены, как и на рис. 9, двумя видами шаров, а связь между точкой и прямой — по-прежнему линией, соединяющей белый и черный шары. Если читатель попробует начертить такую систему, то он получит довольно сложную фигуру. Без точных пояснений нелегко будет догадаться, что эта фигура изоморфна с фигурой на рис. 11 и что, следовательно, обе фигуры выражают «на разных языках» одно и то же.
Приведенные выше рассуждения имели своим предметом евклидову систему. Однако они освещают природу математических теорий вообще, из' которых учение Евклида представляет собой элементарный классический пример, особенно важный, если учесть его роль в дальнейшем развитии математики.
В школе мы изучали другое элементарное математическое учение: арифметику (и алгебру). И это учение может быть развито из сжатой основной системы в принципе так же, как это делается в геометрии.
5 Р. Неванлшша
65
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
Основными объектами арифметики являются «числа». Между ними также существуют определенные основные отношения, задаваемые так называемыми правилами операций. Операция сложения относит к каждой паре чисел а, b вполне определенное третье число с, называемое их суммой (обозначается: а+Ь = с). Основное отношение «умножение» определяет для двух заданных чисел а и b вполне определенное третье число с (обозначается a-b = c).
Эти арифметические основные понятия (объекты и их отношения) подчиняются определенным основным законам — аксиомам. Примерами таких основных законов могут служить закон коммутативности сложения (а + Ь = Ь + а) и закон ассоциативности [(а+6)+с = = а+(6 + с)], а также соответствующие аксиомы для умножения [ab = ba и а(Ьс) = [аЬ)с].
Из этих основных понятий (чисел, отношений сложения и умножения) и аксиом можно вывести все остальные арифметические понятия и теоремы логическим путем так же, как это делается в геометрии.
Более общие основные системы рассматриваются в важных современных математических теориях, например в теории групп, в алгебре и в топологии.
Из сказанного вытекает полная ошибочность распространенной точки зрения, будто бы математические методы могут применяться только к таким системам понятий, которые касаются категорий количества и операций измерения. В самом деле, какое отношение имеет система аксиом Евклида к количествам или измерениям? Другое дело, что в некоторых математических дисциплинах понятие измеримости также подвергается точному логическому анализу и приводит к созданию специальных высокоразвитых теорий1).
Отсюда следует, что математические методы завоевывают и будут завоевывать все новые и новые области знания. Физика в течение последних ста лет стала в основном математической теорией так же, как гео-
') Автор имеет в виду математическую «теорию меры», являющуюся основой, например, современной теории вероятностей. — Прим, ред.
66
S 8. ГЕОМЕТРИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
метрия еще во времена Евклида. Химия в наши дни благодаря развитию атомной и квантовой теорий быстро подвергается мощному преобразованию в направлении совершенно непредвиденной математизации. Аналогичное развитие претерпевают в настоящее время также некоторые другие области человеческой деятельности, именно такие, которые допускают более или менее ясную абстрактную обозримость. Современные точные теории в национальной экономике, в теории игр и в теории информации показывают, что математические методы начали завоевывать области знания, раньше рассматривавшиеся как абсолютно чуждые математике.
Критика математической теории
Пусть какая-нибудь математическая теория (например, геометрия или арифметика) путем логического анализа сведена к аксиоматической основной системе так, как это было объяснено выше. Такая теория, сведенная к системе аксиом, дает повод к вопросу, на который в свое время мы уже указали, а именно:
Какая имеется гарантия того, что выполненная логическая редукция теории закончена, следовательно, все аксиомы логически не зависят одна от другой?
