Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Последующие главы, посвященные возникновению неевклидовой геометрии, частично отвечают на этот принципиальный вопрос.
К этому вопросу присоединяется второй вопрос: непротиворечива ли система Евклида?
Рассмотрение системы аксиом элементарной геометрии показывает, что эти аксиомы не содержат явного непосредственного противоречия. Такое противоречие имело бы место, если бы некоторые аксиомы содержали утверждения, явно между собою несовместимые, например, если бы наряду с аксиомой, что через две точки проходит точно одна прямая, была бы еще одна аксиома, утверждающая, что через две точки проходит несколько разных прямых. Тем не менее основной вопрос о том, не может ли обнаружиться подобного рода кричащее противоречие на более поздней ступени построения геометрии, продолжает оставаться нерешенным. Ко«
67
ГЛ. f. ПРОСТРАНСТВО
гда из аксиом путем логических умозаключений мы выводим все новые и новые теоремы, мы не имеем гарантии, что в конце концов не будут выведены две теоремы, утверждения которых будут содержать непосредственное противоречие. Конечно, известные нам теоремы, выведенные из евклидовых аксиом, таких противоречий не содержат. Однако необходимо заметить, что теоремы Евклида не исчерпывают всех возможных в его системе геометрических теорем, так как количество таких теорем не ограничено. Индуктивное заключение: «До настоящего времени в геометрии не обнаружено никакого противоречия, а потому в дальнейшем также исключена возможность противоречия», не является ло« гически единственно возможным. В самом деле, почему такое противоречие не может возникнуть на более поздней ступени геометрического исследования? Если бы это когда-либо случилось, то вся система Евклида рухнула бы и должна была бы быть отброшена вследствие своей внутренней противоречивости.
Поэтому фундаментальной задачей критического исследования является достижение уверенности, что теория Евклида представляет собой с логической точки зрения приемлемую, непротиворечивую систему. Современное математическое исследование основ геометрии углубило наши знания в этом направлении и привело к новым ценным концепциям. К этому мы еще вернемся в последующем изложении.
Однако окончательной ясности в этих основных логических проблемах не удалось достичь. Некоторые обстоятельства указывают на то, что эти проблемы, возможно, и не могут быть решены с абсолютной надежностью. В самом деле, как уже неоднократно подчеркивалось, логическая дедукция по своей природе есть нечто относительное. В конце концов она всегда должна апеллировать к некоторому фундаменту, к последней инстанции. Ho в тех случаях, когда речь идет о системах, содержащих неограниченное (бесконечное) множество элементов, как это имеет место в геометрии, всегда остается обстоятельство, не поддающееся разъяснению. В понятии «бесконечность» содержится наиболее глубокая и последняя проблема математики.
68
§ 9. ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 9. Возникновение неевклидовой геометрии
Выше мы неоднократно останавливались на аксиоме параллельности. Эта аксиома, вследствие своего особо бросающегося в глаза содержания, занимает исключительное положение среди других аксиом элементарной геометрии. Поэтому неудивительно, что геометрическая мысль непрестанно, начиная со времен Евклида, занималась вопросом: является ли аксиома параллельности, как это предполагал Евклид, независящей от других аксиом его системы или, наоборот, она зависит от других аксиом, т. е. может быть с их помощью доказана.
В течение двух тысяч лет исследователи размышляли над загадкой евклидовой теории параллельных, но так и не могли внести окончательную ясность в этот вопрос. Ведущий математик начала XIX столетия Карл Фридрих Гаусс (1775—1855), прозванный «королем математиков», учитывая, с одной стороны, элементарную природу евклидовой системы, а, с другой стороны,— фундаментальное значение, которое элементарная геометрия имеет для всего математического исследования, с полным правом назвал такое положение скандалом в математик».
Гаусс, еще будучи студентом в Гёттингене, вместе со своим другом юности Фаркашем Бойяи (1775—1856) углубился в проблематику теории параллельности. Из его более поздних высказываний можно заключить, что он уже тогда внес достаточную ясность в этот спорный вопрос, но, верный своей привычке не торопиться с опубликованием своих работ, молчал о сделанном открытии. Так прошло несколько десятков лет, пока в теории параллельных не наступил неожиданный поворот. В 1831 г. молодой офицер Янош Бойяи (1802—1860), сын друга юности Гаусса, прислал своему отцу письмо, в котором сообщил о своих исследованиях в области теории параллельных. В экзальтированных выражениях он описывает свой успех: «Я решил проблему, — пишет он, — и таким образом создал новую удивительную теорию пространства».
Этой теорией была та, которую в настоящее время называют «неевклидовой геометрией», хотя с тех пор
69
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
построено бесчисленное множество других геометрий, отклоняющихся от системы Евклида.
