Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
14
§ 2. В КАКОЙ МЕРЕ ГЕОМЕТРИЯ ПРАВИЛЬНА?
воспринимаемых фигур, строго говоря, отсутствуют. Точка, отмеченная на доске мелом, как бы аккуратно мы ее ни поставили, всегда имеет некоторую толщину. Толщиной обладает и линия, проведенная мелом. Далее, какими средствами мы располагаем, чтобы проверить прямизну линии? Если мы ответим, что эта линия прочерчена при помощи хорошей линейки, то проблема будет перенесена на вопрос о прямизне линейки. Правда, в практике имеются различные способы, позволяющие проверить прямизну физических линий. Наиболее точные из них основаны на представлении, что свет распространяется прямолинейно, по крайней мере в безвоздушном пространстве. Ho является ли прямолинейность световых лучей определением (следовательно, соглашением) или же она может быть сведена к каким-либо другим признакам прямизны? Если мы будем продолжать эти рассуждения, то попадем в заколдованный круг.
Как бы мы ни пытались разрешить эти трудности, мы всегда обнаружим, в соответствии с предыдущими рассуждениями, следующее:
Наглядное, эмпирическое подтверждение геометрического предложения (вспомним, например, об упомянутых выше предложениях 1—4) осуществляется посредством двух шагов:
Пер вый шаг. Объекты и отношения, содержащиеся в предложении, сначала сопоставляются с наглядными понятиями, что делает ситуацию, предусмотренную предложением, доступной чувственному восприятию наблюдателя.
Второй шаг. Только после того как для ситуации, подлежащей исследованию, найдено конкретное представление, можно либо путем прямого «рассматривания», либо посредством экспериментов или измерений установить, является ли утверждение, содержащееся в предложении, верным или неверным.
Значение этого принципа возможности опытной проверки для эмпирических исследований особенно подчеркнул физиолог и физик Эрнст Мах (1838—1916), занимавшийся также вопросами теории познания. С некоторыми оговорками принцип возможности опытной про-
15
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
верки является важным инструментом познания; он лежит в основе одного из философских направлений — так называемого позитивизма.
Однако из сказанного выше следует, что, по крайней мере в геометрии, а с соответствующими оговорками — в точном естествознании вообще, применение принципа возможности опытной проверки не всегда приводит к однозначному результату. В самом деле, вследствие отмеченной выше грубости физического осуществления геометрических объектов наглядное, конкретное представление любого геометрического предложения всегда будет несколько неопределенным и расплывчатым, что характерно для «эмпирической действительности»; поэтому проверка утверждения, содержащегося в предложении (второй шаг), также становится ненадежной, оставаясь, в лучшем случае, в каких-то пределах точности.
Правда, так обстоит дело не со всеми утверждениями, касающимися воспринимаемой нами действительности. Например, если я скажу, что в этой комнате собрались четыре человека или что на этой доске отмечены мелом четыре точки, то все присутствующие, безусловно, будут единодушны в том, правильно или неправильно сделанное утверждение (в отношении точек — при условии, что они расположены достаточно далеко одна от другой).
Неопределенность и неуверенность начинаются только при проверке более тонких соотношений. Пусть, например, требуется экспериментально проверить, правильна ли теорема Евклида: «Сумма углов треугольника равна в точности 180°». В таком случае прежде всего, согласно принципу возможности опытной проверки, следует заменить треугольник подходящей физической фигурой (первый шаг). После этого можно начать производить измерения (второй шаг), используя для этого транспортир или какой-нибудь более точный прибор. Результат будет положительный: сумма углов окажется равной 180° по крайней мере в пределах «ошибки наблюдения». Поэтому если кто-либо утверждал бы, что сумма углов треугольника равна 179°, то такое утверждение следовало бы считать эмпирически опровергну-
16
§ 2. В КАКОЙ МЕРЕ ГЕОМЕТРИЯ ПРАВИЛЬНА?
тым. Тем не менее поставленная цель — доказать правильность утверждения о том, что сумма углов треугольника равна в точности 180°, остается недостигнутой. В самом деле, вследствие принципиальной неопределенности конкретных предметов и восприятий органов чувств, результаты измерения не могут быть совершенно однозначны; поэтому если уточнить утверждение, отрицающее теорему Евклида, сформулировав его следующим образом: «сумма углов треугольника меньше 180°, а именно в рассматриваемом случае меньше на одну тысячную угловой секунды», то отклонение от теоремы Евклида будет ниже пределов точности наблюдений и измерений и его нельзя будет обнаружить. Таким образом, вопрос о том, является ли теорема Евклида вполне точной, остается нерешенным.
С точки зрения практика такой исчезающе малой неопределенностью смело можно пренебречь. В самом деле, в большей части практических задач совершенно безразлично, равна ли сумма углов треугольника в точности 180° или же она отличается от этого значения на одну тысячную долю угловой секунды. Инженер-строитель или топограф могут быть вполне удовлетворены тем, что рассматриваемая теорема Евклида верна с точностью, бесспорно достаточной для любых занимающих их задач. У них нет никаких оснований останавливаться на тонкостях рассмотренного выше рода.
