КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Первое из этих соотношений означает, что поле В(х) может быть
представлено как градиент скалярного потенциала ip(x), второе - что
потенциал <р(х) гармоничен:
Дифференциальное уравнение движения может быть записано при этом в виде
Хорошо известно, по крайней мере для однозначных функций <р, ограниченных
сверху и стремящихся к - оо при \х\ -t оо, что каждое решение этого
уравнения стремится к одной из точек равновесия. Точка равновесия
устойчива, если <р имеет в ней локальный максимум. Это обусловлено тем
обстоятельством, что <р возрастает вдоль всякого
1Для движения так называемого "направляющего центра" в магнитном поле
существуют более совершенные модели; см., например, [23], [14], [32].
х = В(х),
где х = (х±, Х2, хз). В силу уравнений Максвелла,
rot В = 0, div В = 0.
(1)
х = gradiyо.
(2)
184
Лекции о гамильтоновых системах
Рис. 9
решения, так как
з з
ф = VxkXk = = \х\2.
k=1 к=1
Гармоническая функция, однако, внутри области определения максимумов
иметь не может, и, следовательно, построить магнитное поле, обладающее
устойчивым решением, используя только однозначные потенциалы iyj, нельзя.
Рассмотрим цилиндрические координаты г, #, z, где
х = г cos в, у = г sin в.
Функция <р = в является гармонической; если подставить ее в уравнение
(2), то решения последнего будут окружностями, параллельными плоскости х,
у, с центрами, лежащими на оси z. Ясно, что всякая такая окружность
представляет собой устойчивое1 решение. Для практических целей, однако,
этого недостаточно, так как потенциал <р не может быть воспроизведен с
абсолютной точностью, а, как мы увидим, сколь угодно малые изменения <р
могут привести к неустойчивости. Мы сформулируем нашу задачу следующим
образом: требуется найти потенциал <р, близкий к в, для которого
окружность г = 1, z = 0 является решением уравнения (2) и которую
объемлет тор Т, обладающий тем свойством, что векторы магнитного поля
касательны
1Орбитально, а не в смысле Ляпунова, поскольку период обращения зависит
здесь от радиуса окружности. - Прим. ред.
Лекция 4
185
к нему, т. е. образованный магнитными силовыми линиями. Такой тор
называется магнитной поверхностью. Всякая силовая линия, проходящая через
внутреннюю точку этого тора, содержится внутри его целиком. Главное
требование, однако, состоит в том, чтобы такая картина сохранялась при
любых малых изменениях р, т. е. чтобы погрешности значений р существенным
образом на нее не влияли. Иначе говоря, мы хотим удостовериться в
существовании магнитной поверхности Т', близкой к Т, при замене
потенциала р на потенциал р', близкий к р.
б. Решение этой задачи мы начнем с поиска потенциала р, близкого к tpo
= в, магнитной силовой линией которого является окружность г = 1, z = 0 и
для которого выполнялся бы критерий устойчивости этой замкнутой орбиты. В
переменных
и = г - 1, v = z и в
орбита, о которой идет речь, задается условием и = v = 0. В
дифференциальных уравнениях
Г = <рг, z = <Pz,
о =
мы исключим время, заменив его на угол в\ тогда
du d0
<
dv . d0
В качестве р мы возьмем гармоническую функцию, первые производные которой
по переменным и, v обращаются в нуль при и = v = 0. (Из этого вытекает,
что окружность г = 1, z = 0 будет магнитной силовой линией.) В разложении
р по степеням и, v мы получим
р = в + р2 (в, U, V) + ... ,
где р). обозначает однородный полином степени к от и, v, коэффициенты
которого периодически с периодом 2тт зависят от 9.
(1 +и)2
- tpe <Pui
(1 + и)2
- Ш~а Pv
186
Лекции о гамильтоновых системах
Условие того, что ф = ip - в гармонична, т. е. является решением
уравнения (1), выглядит так:
Фии + фуу + + (л 1 '2 Фее = о.
1 + И (1_|-иу
Предполагая, что ф начинается с членов порядка m ф 2:
Ф = Фт(0, U,V)+...,
МЫ видим, что
д2фш д2фт _ ди2 dv2 '
т. е. фт гармонична по и, v и, таким образом, может быть представлена как
действительная часть некоторой аналитической функции от переменной w = и
+ iv:
фт = R e(p(ff)wm).
Теорема 10. Если среднее
2тг
о
не обращается в нуль, то окружность и = v = 0 представляет собой
неустойчивое решение системы уравнений (3).
Доказательство.
Сделаем замену переменных
и = и - f(6, и, v),
V = V - g(6, и, v),
такую, чтобы член фт заменился бы своим средним значением. (По этой
причине в подобных ситуациях говорят о "методе усреднения".) Считая f,g
однородными полиномами степени т - 1, периодичными по в с периодом 2тг,
выразим наши уравнения в новых переменных:
дм _ дфт _ д? йв дФ дв т'
dv _ дфт _ dg дв дЪ дв
Лекция 4 187
где под От следует понимать сумму членов порядка т и выше. Таким образом,
если мы положим
27Г
2Ж j Фт dO - ["0m] i
то функция tjjm - [фт\ окажется производной по в от некоторой
периодической функции Ф = Ф(#, и, v). Если в качестве / и g взять частные
производные от Ф:
л _ 9Ф _ ЭФ
ди' ^ dv'
то дифференциальные уравнения примут вид
% = -к^1+0-l = ?w+0'"-
Здесь для удобства записи опущена тильда. По тем же соображениям мы
перейдем к комплексным обозначениям и запишем уравнения в виде
