КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
помимо существования рядов tp, ф, нами доказано, что / и g определяют их
однозначно. Ясно, что ряды tp, ф имеют вещественные коэффициенты,
поскольку тем же свойством обладают fug. Докажем теперь, что сохранение
площади преобразованием (12) имеет следствием тождество
1 + <">
В самом деле, если через D(t, ж, у) обозначить якобиан отображения (ж, у)
->¦ (x(t),y(t)), задаваемого рядами (13), то
ж, у) = т(Х, Y)D(t, ж, у); D(0,ж, у) = 1, (15)
где т(ж, у) = (pk 4- фу и X = ж(?),У = y(t). Если теперь т не равно
тождественно нулю, то найдется первый ненулевой член
т = 7*(ж, у) + ... , где тк ф. О (к ^ 1);
согласно (13),
т{Х, Y) = тк(х, у) + ...
Ясно, что в уравнении (15) правая часть начинается с членов порядка ^ к,
откуда D имеет вид D = 1 + Dk + Для членов порядка к
мы находим из (15)
0л _т
dtDk ~ ТЬ
т. е.
Dk = trk(x, у),
Лекция 2 165
а следовательно, якобиан Mq
^ = 1 + qrk(x, у) + ... .
У)
Это противоречит предположению, что якобиан (12) равен тождественно
единице.
Из (14) следует, что существует формальный степенной ряд Н(х, у), для
которого
(р = Hv, ф = -Нх,
так что Mq порождается системой (11) (при t = q), где Н - найденный
формальный степенной ряд. Таким образом, Н - искомый интеграл отображения
Mq.
Конечно, Н(Р), Н(МР), ... , Н(МЯ~1Р) могли бы различаться между собой, т.
е. Н могло бы не быть интегралом отображения М. Но оказывается (как будет
выяснено в приложении к этой главе), что в действительности Н
автоматически является интегралом и для М. Более того, поток
Л* о М*
(где Л* есть отображение x + iy -" Л* (ж + гу); Л = ега) является искомой
интерполяцией самого М. Это связано с тонким вопросом о нахождении корня
q-Й степени из отображения, если его линейная часть известна.
Еще раз подчеркнем, что интерполяция нами построена всего лишь в классе
формальных рядов. Хотя в случае рационального 4L = Е эти ряды и не
содержат малых знаменателей, можно привести пример (и мы его приведем),
когда они расходятся. Более того, их расходимость - общая ситуация.
е. В качестве примера, где нет сходящихся интегралов, мы рассмотрим
полиномиальное отображение (см. Мозер [21])
Ж1 = (ж + у3) cos а - у sina,
" (sina ф 0)
2/1 = (ж + у ) sin а + у cos a.
Когда а несоизмеримо с 27т, можно ввести формальные координаты ?, г), для
которых выражение + rf сохраняется. Будучи записано в этих координатах,
наше отображение примет вид (9), где угол
ф = а- |(е2+7/2)+...
166 Лекции о гамильтоновых системах
постоянен на каждой окружности р = +t]2, но меняется вместе с из-
менением р. Если бы этот ряд сходился в какой-нибудь окрестности
начала, то можно было бы найти рациональное число такое, что
2q
для некоторых ?, г] с + г/2, меньшим радиуса сходимости. Это означало бы,
что целая окружность + rf = р (с подходящим р) состояла бы из неподвижных
точек отображения M2q. Мы увидим, однако, что при любом q отображение M2q
имеет не более конечного числа З2(r)) неподвижных точек, что противоречит
предположению о сходимости1.
В самом деле, координаты неподвижных точек Mq удовлетворяют условиям жгq
= ж; У29 = у¦ Для дальнейших рассуждений удобно заменить их на
эквивалентные.
Xq = Х-д, Уд = У-д, (1б)
где (х-д, у-д) - образ точки (ж, у) при М~я. Система (16)
состоит из
двух полиномиальных уравнений, а потому, согласно теореме Безу [33],
имеет не более конечного числа корней, если только уравнения, ее
составляющие, не содержат общего множителя. Мы покажем сейчас, что в
нашем случае это может быть гарантировано при sin а ф 0.
С этой целью заметим, что отображение М-1, обратное к М, также
полиномиально:
{ж_1 = ж cosa + у sina + (ж sina - у cosa)3,
У-1 = -ж sin а + у cos a.
Полиномиально, следовательно, и M~q. Можно вычислить члены высшего
порядка полиномов ж9 - ж_9, yq - у~д'.
Р = aq cosауъ<1 - aq(ж sin a - у cos a)3*,
_ . о?
Q = aq sm ay .
1Близкие соображения были использованы недавно Артином и Мазуром [3],
показавшими, что для любого структурно устойчивого отображения М
компактного многообразия в себя число неподвижных точек Fq отображения Mq
удовлетворяет неравенству вида Fq <С cq.
Лекция 2
167
Очевидно, они общих множителей не имеют (при sin а ф 0), откуда вытекает,
что xq - x-q и yq - y-q взаимно просты. Этим доказательство расходимости
в нашем примере, когда фф- иррационально, завершается.
2 7Г
В действительности наши рассуждения применимы и в случае рационального
фф-, где мы тоже можем построить аналогичную нор-
27Г
мальную форму (см. ниже приложение а). Преобразование, приводящее к
нормальной форме, малых знаменателей не содержит и все же, как можно
показать, оно расходится.
ж. Добавление1. Упомянем, что в этом году Рюэль и Хенон [25]
опубликовали работу о полиномиальном отображении, весьма похожем на
приведенное выше. Их исследования, в основном, численные; они сравнивают
интеграл, полученный из преобразования Биркгофа, с результатами
непосредственных вычислений. Авторы находят согласование превосходным, по
