КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
...,
A9 1fk(z,z)+ Xq 2fk(Xz,Xz)+... + fk(Xq 1z,Xq 1z)=gk, (3)
где gk определяется из TV и членов M меньшего порядка. Если мы теперь
положим
H(Xz,Xz) = H(z, z).
z\ = Az + ... + fk(z, z) + ... ,
Z2 - A(Az + ... + fk + ...)+ fk (Xz, Xz) + ... = A2z + ... + Afk(z, z) +
fk(Xz, Xz) + ... ,
и вообще
где мы выделяем только те члены, в которые входит fk.
Для нахождения fk мы должны решить уравнение вида
V-\-fl=k
то левая часть (3) приведется к виду
Лекция 3
171
Сумма в скобках равна 1 _
v_ _х = 0 при v - р - 1 ф kq (к - целое),
< \ и
<7^0 при и - р - 1 = kq.
Итак, мы видим, что с"д однозначно определяется тогда и только тогда,
когда
и - р - 1 = kq,
т. е. в точности тогда, когда отображение М имеет нормальную форму. Этим
доказательство леммы 2 заканчивается.
д. Поскольку М = Л о М1 = М1 о Л, мы видим, что Лг о М* определяет
требуемую интерполяцию М. Мы напомним далее, что отображения М,
удовлетворяющие условию
М о Л = Л о М,
образуют группу (5. Таким образом, указанная интерполяция остается в
группе (5 преобразований, коммутирующих с поворотом Л.
Лекция 3 Устойчивость
а. Мы возвратимся к исследованию гамильтоновых систем вблизи точки
равновесия и попытаемся найти для них критерий устойчивости. Интуитивно
устойчивость означает, что все решения, начинающиеся достаточно близко к
точке равновесия, будут оставаться вблизи нее в течение всего будущего
времени. К примеру, из устойчивости точек равновесия L4 и будет вытекать,
что астероиды, находящиеся в начальный момент достаточно близко (в
фазовом пространстве) к точке L4, всегда будут оставаться около нее и, в
частности, никогда не столкнутся с большими телами.
Точное определение устойчивости восходит к Ляпунову: точка равновесия,
скажем w = 0, называется устойчивой (относительно данной системы
дифференциальных уравнений w = F(w)), если для любой данной окрестности
|w| < е (е > 0) точки w = 0 существует (меньшая) окрестность |w| < 6(e),
такая, что все решения, у которых |w(0)| < S(e), продолжают оставаться в
е-окрестности при всех t > 0.
172
Лекции о гамильтоновых системах
Ясно, что это понятие весьма важно для приложений, поскольку в случае
устойчивости можно предсказывать приблизительно положение решения в любой
момент, если его положение в начальный момент известно. Легко видеть, что
между понятиями устойчивости и непрерывности существует аналогия.
Устойчивость означает по существу равномерную непрерывность при всех t >
О зависимости орбиты от начальных данных. В то время как стандартные
теоремы о непрерывной зависимости от начальных данных устанавливают такую
устойчивость для конечного промежутка времени, нас здесь будет
интересовать более трудная задача для случая бесконечного промежутка.
Найти критерий устойчивости - значит найти условие, которое может быть
проверено путем вычислений; им может служить, например, условие,
выраженное в терминах конечного числа коэффициентов тейлоровского
разложения гамильтониана. Мы видели в предыдущей главе, что такого
критерия для интегрируемости не существует, поскольку последняя зависит
от иррациональности некоторых величин и, кроме того, от бесконечного
числа коэффициентов тейлоровского разложения. Замечателен факт, что
вопрос об устойчивости может быть сведен к вопросу о выполнении конечного
числа неравенств. Это и составляет предмет данной главы.
б. Простейшим и наиболее широко известным критерием устойчивости
является следующий: если квадратичная часть гамильтониана положительно
(или отрицательно) определена, то точка равновесия устойчива. В самом
деле, если Н^ положительно определена, то существуют положительные
константы а, Ъ, такие, что
Если, далее, |ги(0)| < 5(e), то Н < 2bS2 при t = 0. Но в силу того, что Н
является интегралом, мы имеем
^|w|2 ^ Н ^ 2Ь|ш|2 при |ги| < г.
а
\w(t)\2 <: 2Ь62,
2
или
Лекция 3
173
Таким образом, можно взять 6(e) = ^ ПРИ 0 < ? < г;
устойчивость
точки равновесия w = 0 установлена.
Существует общая уверенность в том, что это условие является также и
необходимым, по крайней мере для практических целей. В самом деле, для
систем с гамильтонианом Н = Т (у) + U(ж), где кинетическая энергия Т
является положительно определенной формой от переменных у, а
потенциальная энергия U - функцией от переменных ж, это действительно
так. Но уже в ограниченной задаче трех тел квадратичная часть
гамильтониана Н не является положительно определенной, а устойчивость
получить мы можем. Ограниченная задача трех тел имеет дело с движением
частицы во вращающейся системе, и поэтому ее гамильтониан не может быть
представлен в виде Т + U.
в. В оставшейся части этой главы мы будем рассматривать системы с
двумя степенями свободы и будем предполагать, как и прежде, что ,
Как мы только что видели (в пункте б), устойчивость заведомо имеет место,
если ад "2 > 0, поскольку тогда квадратичная часть Н знакоопределена. Нас
интересует, таким образом, случай оца2 < 0 (с которым мы сталкиваемся при
