КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
неравенству е2 < х\ + у\ < 2е2.)
Используя 02 как независимую переменную вместо t, мы находим из (10)
dR = d0 _ Fr
d02 Fjj, ' <102 Fr2
(13)
Легко убедиться в том, что на поверхности F = с эти уравнения приобретают
вид
(13')
dR = ф d0_ = _ф d02 d02 '
где Ф определено равенством (12).
Система (13) по-прежнему гамильтонова, имеет одну степень свободы, но не
автономна. Для того чтобы исключить независимую переменную, мы рассмотрим
отображение М из плоскости 02 = 0 в плоскость 02 = 27г, определяемое
сдвигом по траекториям системы (13).
180
Лекции о гамильтоновых системах
Рис. 7
К этому отображению, которое, согласно теореме Лиувилля, сохраняет
площадь f Rd6, мы применим теорему 9. Ситуация, имеющая здесь место,
может быть проиллюстрирована рисунком 7.
Для приближенного определения отображения М проинтегрируем систему (13) с
точностью до членов 0(г3). Поскольку Fg = 0(г3), то Д(2тг) = R(0) +
0(е3). Отображение М, таким образом, дается формулами
[ Д(2тг) = R(0) + 0(s3)
0(2тг) = 0(0) + 2тг-^- + 0(е3) =
(14)
= 0(0) +2тг
а г + s2([3uRi + P12R2)
а.2 + s2((3i2Ri + P22R2) Подставляя сюда R2 = Ф(R, 0, 02), получаем
+ оИ.
0(2тг) = 0(0) + 2тг§- + -(a2f3i2 ~ аМ ~ + 0{е3),
а3
а3
где D - детерминант, участвующий в формулировке теоремы 7. Как видно
отсюда, наше отображение - отображение типа (8), и к нему, следовательно,
применима теорема 9. Условие 7' ф 0 эквивалентно условию D ф 0, которое,
по предположению теоремы 7, выполнено. Это
Лекция 3
181
/ S г]
шар радиуса S
R
Рис. 8
позволяет утверждать, что между окружностями R = 1 и R = 2 существует
инвариантная кривая Г. Как легко видеть, всякое решение, проходящее в
момент #2 = 0 через точку, лежащую внутри кривой Г, за пределы последней
никогда не выходит.
Желая убедиться в том, что положение равновесия действительно устойчиво,
рассмотрим следующий рисунок, где изображена область
в которой для каждого значения Р можно указать инвариантную кривую Г
(рис. 8).1
Напомним, что Rv = e~2(xl + у2). Согласно определению устойчивости, нам
требуется доказать, что решения не могут покинуть заранее заданной
окрестности
если их начальные значения заключены в некоторой ё = <5(?7)-окрест-ности.
С этой целью е и S выберем достаточно малыми: е так, чтобы
Дальнейшее рассуждение основано на существовании при одном и том же г
инвариантных кривых на всех изоэнергетических поверхностях в области
(15). Это подразумевает равномерность малости е, обеспечивающей по
теореме 9 существование таких кривых, что ниоткуда не вытекает. В связи с
этим см. [5*], стр. 234 и далее. - Прим. перев.
(15)
2
(16)
182
Лекции о гамильтоновых системах
область (15) (см. рис. 8) целиком попадала в окрестность (16), а 8 так,
чтобы в шаре радиуса 8 с центром в начале координат выполнялось
неравенство F < Тогда инвариантные кривые Г препятствуют
уходу решений, начинающихся в (5-шаре и лежащих на изоэнергетичес-ких
поверхностях F = с, из области Ri < 2. Таким образом, решения вынуждены
оставаться в области
и покинуть rj-uiapa поэтому не могут. Этим устойчивость положения
равновесия, а следовательно, и теорема 7 доказаны.
ё. Смысл условия D ф 0 можно уяснить из (14). Так как FRl, Fr2
представляют собой частоты решений аппроксимирующей системы, условие D ф
0 эквивалентно тому, что отношение частот F^/Fr^ на поверхности F = с
меняется при изменении R, иначе говоря, эквивалентно условию
а. Напоследок мы рассмотрим еще один пример использования методов,
развитых выше, именно задачу о нахождении магнитного поля с замкнутыми
магнитными поверхностями, играющую определенную роль в физике плазмы. Для
создания так называемых магнитных бутылок важно уметь строить магнитные
поля, силовые линии которых образуют поверхности, скажем двумерные
тороидальные поверхности в трехмерном пространстве. Ясно, что при этом
силовые линии, проходящие через точки, внутренние по отношению к таким
поверхностям, будут содержаться внутри их целиком. Поскольку под
воздействием магнитного поля заряженные частицы осуществляют, грубо
говоря, спиралеобразное движение вдоль силовых линий, последние можно
рассматривать в качестве первого приближения для траектории так
Лекция 4
Устойчивость магнитных бутылок
Лекция 4
183
называемого "направляющего центра" (guiding center), движущегося по оси
этой спирали. Интересующие нас вопросы устойчивости весьма существенно
связаны поэтому с вопросом об удержании заряженных частиц. Конечно,
изучение движения отдельных частиц для целей физики плазмы явно
недостаточно, поскольку пренебрегать взаимодействием между отдельными
частицами и самостягивающими силами (pressure forces), создаваемыми всей
совокупностью частиц в целом, недопустимо. Тем не менее, полностью
сознавая грубость нашего приближения, мы ограничимся случаем единственной
частицы, моделируя притом траектории движения магнитными силовыми
линиями1.
Движение вдоль силовых линий магнитного поля В = В(х) = = (5i, #2, Вз)
описывается уравнением
