КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
более глубокой теоремы Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке, в
которой никаких условий малости не налагается. В том же виде, как она
сформулирована выше, теорема 8 почти непосредственно получается из
теоремы о неявной функции. В самом деле, ясно, что q-я итерация МЕ имеет
вид
Rq = R + О {в),
вд = в + q'y(R) + 0(e),
и - по теореме о неявной функции - для достаточно малого е существует
единственное R = F(0, е), такое, что
вд = в + 2-кр.
Лекция 3
177
График R = F(0, s) представляет собой звездообразную кривую С, точки
которой при отображении Мя смещаются вдоль радиусов, поскольку 9q и в
отличаются друг от друга на целое кратное 27г.1 Из того, что М, а
следовательно, и Mq сохраняют площадь J Rd6, вытека-
с
ет, что кривая С1 и ее образ MqC пересекутся по крайней мере дважды.
Найденные точки пересечения являются, очевидно, неподвижными точками Mq.
Остальные неподвижные точки Mq могут быть получены из этих двух путем
последовательного применения к ним отображения М. Понятно, что если MqP =
Р, то тем же свойством обладают и МР, ... , Mq~1P. Доказательство теоремы
8 этим заканчивается.
Стоит заметить, что в то время как при е = 0 у Mq имеется целый континуум
неподвижных точек, при е > 0 мы можем гарантировать наличие только
конечного числа их. И действительно, можно продемонстрировать на
примерах, аналогичных приведенным в предыдущих лекциях, что кривая -
геометрическое место неподвижных точек, распадается, вообще говоря, в
конечное множество неподвижных точек.
Теперь мы обратимся к вопросу о том, что случится при возмущении с
окружностями R = const, у которых - иррационально. Этот вопрос решает
следующая теорема, которая здесь доказываться не будет2.
Теорема 9 (Мозер [22]). Пусть 7'(R) ф 0, и пусть всякая кривая С,
охватывающая окружность R = 1, пересекается со своим образом, МС. Функции
fug предполагаются достаточно гладкими. В этих предположениях при
достаточно малых е существует инвариантная кривая Г, охватывающая
окружность R = 1. Точнее, для любого числа и>, лежащего между 7(1) и
7(2), несоизмеримого с 2-к и удовлетворяющего неравенствам
_ Р
2тг Q
Ф c\q\
-5/2
при всех целых р, q, существует при достаточно малых е гладкая замкнутая
кривая
R = F(<p,e), в = (р + G((p,e),
1Для краткости мы пишем иногда М вместо М?.
2Аналитический вариант теоремы 9 вместе с доказательством приведен в
"Лекциях о гамильтоновых системах" на стр. 78. - Прим. ред.
178
Лекции о гамильтоновых системах
где F, G периодичны по (р с периодом 2тг, инвариантная относительно
отображения М?. Образ точки, лежащей на кривой С и определяемой
параметром tp, может быть получен из (7) заменой (р на (р + и>.
На самом деле эта теорема устанавливает существование не только одной, а
бесконечной совокупности инвариантных кривых. Значение этого результата
состоит в том, что ограничиваются образы при всех итерациях. Если точка
лежит между двумя инвариантными кривыми указанного выше типа, то и все ее
образы лежат между ними; иначе говоря, нами найдено внутри кольца 1 ^ R ^
2 кольцо, отображающееся на себя. Важность этого результата для вопросов
устойчивости очевидна, поскольку им указывается область, в которой должны
оставаться решения в продолжение всего будущего времени.
Заметим (это будет полезно для последующих приложений), что условие на
пересечение кривых в теореме 9 заведомо выполнено, если площадь f Rd8
сохраняется. Именно: если С - кривая, охватывающая окружность 77 = 1, то
и ее образ МС охватывает эту окружность. Если кривые С и МС не
пересекаются, то одна лежит внутри другой и площади j г ёв и f RdO
совпадать не могут. с мс
Для последующих приложений нам понадобится также следующее обобщение
предыдущей теоремы: если отображение (6) заменить на
i?i = R + eaf(R, в, е),
01 = в + су, + s^(-R) + ?стg(R, в, ?¦),
где 0 ^ р < а, то утверждение теоремы остается справедливым. Здесь
существенно то, что возмущающий член мал по сравнению с "закручивающим",
ep'j(R).
е. Доказательство теоремы 7. Мы возвращаемся к системе
дифференциальных уравнений, определяемой гамильтонианом (3). При замене
ж, у на е~1х, е~1у гамильтониан Н(х, у) заменится на
F = е-2Н(ех, еу) = ? ?fRv + е2 ? + 0(е3), (9)
V V, ц
а дифференциальные уравнения приобретут вид
2
Rv = 2Fe"=0(e3), ev = -2FRt,=-(av+e2Y,PvnRu)+0{e3). (10)
Д -1
Лекция 3
179
Изоэнергетические поверхности F = const некомпактны; F = 0 определяет
трехмерную поверхность, проходящую через точку равновесия х = у = О (см.
рис. 6).
Мы сосредоточим наше внимание на поверхностях постоянной энергии
F =
где
|с| < (11)
Наша цель - показать, что решения не могут уйти далеко ни на одной из
этих изоэнергетических поверхностей. Принимая Ri = R, 0i = 0, 02 за
независимые переменные, выразим через них i?2 при помощи (11) и получим,
что
Д2 = Ф(Д,",<Щ = -§(д-!f)+0(e2).
(12)
Это выражение положительно, согласно (11), при достаточно малых е, если R
= Ri заключено в пределах
1 ^ R ^ 2.
(С учетом того, что переменные растянуты в е-1 раз, это соответствует
