КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
конечно, много слабее введенной ранее.
Ситуация несколько напоминает ту, которая возникает при изучении
распределения рациональных и иррациональных чисел на вещественной оси. И
рациональные и иррациональные числа плотны на ней, и, следовательно, не
имеет смысла говорить об иррациональности числа, если оно известно только
с некоторой погрешностью, как это бывает в любых физических приложениях.
Лекция 2
159
Хотя и те и другие числа образуют плотные множества, мы можем все-таки
сказать, что множество иррациональных чисел более богато, чем множество
рациональных. К примеру, рациональные числа образуют всего лишь счетное
множество, в то время как мощность иррациональных чисел равна мощности
континуума. Другая характеристика распределения точек множества в
топологическом пространстве связана с понятием бэровской категории. О
множестве говорят, что оно первой категории, если его можно представить в
виде объединения не более чем счетной совокупности нигде не плотных
множеств. Не вдаваясь в подробности, мы упомянем лишь о несколько
разочаровывающем результате Зигеля [30], который гласит, что
гамильтонианы, соответствующие сходящимся преобразованиям Биркгофа,
образуют множество первой категории в смысле Бэра (в топологии (3)), т.
е. представляют собой исключительный случай.
б. Существует тесная связь между сходимостью преобразования Биркгофа и
существованием аналитических интегралов, которую мы вкратце опишем. В
случае сходящегося преобразования Биркгофа, очевидно, существует п
независимых аналитических интегралов, начинающихся с квадратичных членов.
В самом деле, достаточно преобразовать гамильтониан к нормальной форме,
чтобы убедиться, что функции pv = (%,-\-гЦ являются интегралами движения.
Возвращаясь к прежним координатам, мы обнаружим, что эти интегралы
Pv = xl + yl + ...
являются независимыми аналитическими функциями, разложения которых
начинаются с квадратичных членов.
В случае двух степеней свободы1 этот очевидный результат можно обратить,
что и было сделано Рюссманом2. Он предположил, что система с
гамильтонианом Н допускает интеграл
2
G = ^2 + у1) + • • • (4)
i/=i
такой, что
cki/?2 - "2/?! ф 0. (5)
^ри п > 2 обращение потребовало бы существования нескольких интегралов в
инволюции. Это обобщение вряд ли представляет интерес.
Аналогичное утверждение в несколько отличной ситуации доказал в 1966 г.
В. К. Мельников [4]. - Прим. перев.
160
Лекции о гамильтоновых системах
Теорема 5 (Рюссман [27]). Если гамильтонова система имеет аналитический
интеграл (4), удовлетворяющий условию (5), то преобразование Биркгофа
сходится.
Все это объясняет, почему (следуя Биркгофу) мы называем "интегрируемым"
случай, когда преобразование Биркгофа сходится.
в. В предшествующих результатах предполагалось, что собственные числа
av рационально независимы. Возможно, что в резонансном случае, т. е. при
рациональном если п = 2, преобразование к нормальной форме (см. теорему
3) сходится. К этой мысли можно прийти, заметив, что в конструкции
преобразования теоремы 3 знаменатели (j, а) = jiai + j2Q!2 отделены от 0,
поскольку члены, соответствующие (j, а) = 0, в нормальную форму не
входят. Иными словами, в этом случае нет никаких малых знаменателей!
Однако ниже, по ходу дела, мы приведем (см. пункт е) пример,
показывающий, что эти надежды не оправданы и что мы можем встретиться с
расходимостью даже в случае отсутствия малых знаменателей!
Пример, который мы хотим привести сейчас, относится не к системам
дифференциальных уравнений, а к отображению плоскости в себя, похожему на
то, которое мы рассмотрели в связи с численными результатами Хенона и
Хейлеса. Однако между системами дифференциальных уравнений в окрестности
точки равновесия и отображениями в окрестности неподвижной точки
существует тесная связь. Она будет пояснена в третьей лекции. Здесь же мы
хотим только сформулировать теоремы об отображениях, аналогичные уже
приводившимся теоремам о дифференциальных уравнениях. Эти результаты
восходят к Дж. Биркгофу [4].
Для простоты мы ограничимся рассмотрением аналитических отображений х, у-
плоскости в окрестности неподвижной точки, которая, как мы будем
предполагать, находится в начале координат. Запишем рассматриваемое
отображение в координатной форме
где /, g - вещественно-аналитические функции от х, у. Предположение о
гамильтоновом характере дифференциальных уравнений в случае отображений
(при п = 2) соответствует предположению о том, что со-
М
{
XI = /(ж, у) = ах + Ьу+ ... , Vi = g(x, y) = cx + dy + ... ,
Лекция 2
161
храняется элемент площади dxdy, т. е. что
d(f, g)
д(х, у)
= I- (6)
Поведение решений дифференциальных уравнений в течение длительного
промежутка времени соответствует здесь поведению образов точки при
итерациях Мк = Мк~гоМ отображения М. К примеру, устойчивость в случае
отображений означает, что точки, близкие к неподвижной, при всех
итерациях остаются в заранее заданной окрестности.
