Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 52

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 136 >> Следующая

В рассматриваемом круге вопросов решающую роль играет линеаризованное
отображение, определяемое матрицей
а Ъ с d
Будем предполагать, что итерации этой матрицы ограничены, т. е. что ее
собственные числа лежат на единичной окружности
Л = e±ia. (7)
Обычно мы будем требовать также, чтобы Л ф ±1. В подходящих координатах
мы можем записать рассматриваемое отображение в виде
Г х\ = х cos а - у sin а + ...= /(ж, у),
I 2/1 = ж sin а + у cos а + ... = g(ж, у).
г. Можно попытаться найти систему координат, в которой отображение
приняло бы нормальную форму, подобно тому как это было сделано для
дифференциального уравнения. Такая нормальная форма действительно
существует и тоже была построена Дж. Биркгофом в [4]; здесь, как и
прежде, вопрос о сходимости мы не затрагиваем.
Теорема 6. Если иррационально, то существуют формальные
2 7Г
степенные ряды
х = и(?, г]) = ? + и2(?, //)+...;
У = v(?, Г]) = t] + v2(C, Т])+... , приводящие отображение (8) к
нормальной форме ( ?.1 = ?. cos Ф - n sin Ф,
\ (9)
I Vi = С sin Ф + 7/ cos Ф,
162
Лекции о гамильтоновых системах
где
Ф = а + /3(?2 + г]2) + ... (10)
является формальным степенным рядом от одной переменной р=?2+1]2.
0(и 1?)
При этом и, v могут быть выбраны так, чтобы якобиан -1 тож-
д{?, п)
дественно равнялся 1.
Другими словами, в новых координатах отображение представляет собой
поворот на угол, зависящий от радиуса + rf. Выражение р = = + rf
инвариантно при отображении, т. е. является эквивалентом
формального интеграла. Сходимость рядов и, v снова не может быть
гарантирована, поскольку в выражения для коэффициентов и и " входят малые
знаменатели Хк - А. То что эти ряды, вообще говоря, расходятся, показал
Рюссман [26].
д. Вопрос о существовании ряда G, остающегося инвариантным при
отображении М - будем называть его для краткости интегралом, - тесно
связан с вопросом интерполируемости: существует ли для данного
отображения М, сохраняющего площадь, такое семейство отображений М*, что
М° = id; М1 = М
И
Mt+S = М* о Ms.
Если такая интерполяция между тождественным отображением и отображением М
возможна, то можно показать, что семейство М* порождается сдвигом по
траекториям некоторой системы уравнений Гамильтона
х = Ну(х,у)\ у = -Нх(х,у). (11)
В этом случае М1 представляет собой отображение, которое переводит (ж(0),
у(0)) в точку (x(t), y(t)), являющуюся значением в момент t решения
уравнений (11) с начальными условиями (ж(0), 2/(0))- Но система (11)
имеет первый интеграл Н, являющийся, следовательно, и интегралом
отображения М.
Оказывается, что справедливо и обратное: если наше отображение обладает
интегралом, то интерполяция М1 существует и нормальная
Лекция 2
163
форма сходится. Таким образом, условие интерполируемости на самом деле
эквивалентно условию существования интеграла. Этого утверждения мы
доказывать не будем, но из примера, который мы приведем ниже (см. пункт
е), будет видно, что интеграл может не существовать, а следовательно,
может не существовать и интерполяция.
Однако мы сейчас покажем, что если требованием сходимости пренебречь, то
всегда можно найти формальный интеграл G.1 Под последним мы подразумеваем
формальный степенной ряд G(x, у) (отличный от константы), коэффициенты
которого совпадают с коэффициентами ряда G(f(x, у), g(x, у)). Будет
показано также, что в классе формальных отображений разрешима и проблема
интерполяции.
При иррациональных такой интеграл был уже найден; это
2 7Г
р = + rf. Интерполяция, очевидно, дается формулами
G = С cos(?$) - rj sin(i$), r]t = С sin(t$) + г] cos(?$).
Поэтому мы переходим к случаю с рациональным т. е. ^
2 7Г 2 7Г У
или А(r) = 1. У q-Й итерации Mq линейная часть - тождественное отображение:
Попытаемся построить ряды <р(х, у),ф(х, у) таким образом, чтобы
отображение, порожденное сдвигом по траекториям системы уравнений
на время t = q, совпадало с Mq. Как мы увидим, этого можно достичь
методом сравнения коэффициентов. Если мы разложим решения
дифференциальных уравнений по степеням координат начальной точки, которые
снова обозначим через ж, у, то получим ряды
¦'¦Аналогичный результат для неавтономных гамильтоновых систем получен
Хд = Ж + . . . = /(ж, у), Уд = у + ... = g(x, у).
(12)
Ж = (р(Ж, у) = g>2 +<рз + ¦¦¦ , у = ф(х, у) = ф2 + Фз + • • •
x(t) = х + tip2{x, у) + ... , y(t) = У + ^2 (ж, у) + ... , коэффициенты
которых зависят от времени t.
(13)
в [17].
164
Лекции о гамильтоновых системах
Члены порядка к в этом разложении будут зависеть только от <р2,(рз, • • •
, <Pk, Ф2, фз, , Фк] точнее: они будут иметь вид
t<pk + члены, зависящие от ip2, ... , <Pk-h Ф2, ¦ ¦ ¦ , Фк-i,
Ьфк + члены, зависящие от <^2, • • • , <Pk-it Ф2, • • • ¦> Фк-1-
Таким образом, если мы будем действовать по индукции и рассматривать
<?>2, ••• , <Pk-h Ф21 ••• , Фк-1 как уже известные, то найдем рк,фк,
полагая указанные выражения при t = q равными /к, gк. Этим доказательство
завершается. Мы, однако, получили несколько больше, чем собирались:
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed