Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 61

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 136 >> Следующая

гв du dv = ^ipg du dv
сохраняется, что мы и хотели доказать.
При различных преобразованиях, которые мы использовали выше, элемент
площади переходит в элемент
Q(и, v) du dv,
где Q > 0 вблизи точки и = v = 0, так как якобианы наших преобразований
при w = 0 были отличны от нуля.
¦'¦Дальнейшие рассуждения заимствованы из книги К. JI. Зигеля "Лекции по
небесной механике" [31].
192
Лекции о гамильтоновых системах
Отсюда ясно, что кривая С, охватывающая w = 0, и ее образ должны
пересекаться, поскольку в противном случае площади
j j Q(u, v) du dv,
ими охватываемые, совпасть не могут. Условие пересечения, требуемое
теоремой 9, следовательно, выполнено и доказательство теоремы 11 тем
самым завершено.
д. Мы доказали на самом деле больше, чем утверждает теорема 11. Мы
установили не только то, что круговая орбита w = 0 устойчива, но и
построили гладкий инвариантный тор в области
С_1? ^ |w| ^ С?, (7)
где с > 0 и s достаточно мало.
Заметим, что устойчивость решения w = 0 возможна только в том случае,
когда среднее от фт есть точный нуль, а, следовательно, малейшие
изменения р могут повлечь за собой неустойчивость. Мы сейчас, однако,
покажем, что при малых гармонических возмущениях р магнитные поверхности,
построенные выше, не разрушаются. В самом деле, если мы зафиксируем е и
область (7), в которой найден инвариантный тор, то при небольшом
изменении р отображение сохраняет все требуемые свойства. Это означает,
конечно, что возмущение р должно быть малым даже в сравнении с выбранным
е. Свойство пересечений будет выполняться, поскольку р останется
гармонической функцией. Таким образом, теорема 9 снова дает инвариантную
поверхность, которая будет непрерывно зависеть от возмущения.
Стоит задуматься над тем, как может существовать инвариантная
поверхность, содержащая внутри себя неустойчивую замкнутую орбиту,
поскольку в высказанном выше утверждении мы допускали возмущения р,
средние которых не обязательно в точности равны нулю, что, как было
показано, влечет за собой неустойчивость. Чтобы уяснить себе возникающую
ситуацию, мы рассмотрим отображение, у которого т, скажем, равно трем. Мы
видели, что при [фт\ ф 0 оно изображается рисунком 10. Однако при [ф\ = 0
это отображение является "закручивающим" отображением. Ясно, что если
[фт\ мало, то рисунок 10 годится только в непосредственной окрестности w
= 0, в то время как на
Лекция 4
193
Рис. 11
большем расстоянии доминирует "закручивающее" отображение. Более
подробный анализ данной ситуации приводит к следующему рисунку:
Хотя Г и является инвариантной кривой этого отображения, неподвижная
точка w = 0 неустойчива по Ляпунову. Траектории дифференциального
уравнения, если они начинаются внутри инвариантного тора, его не
покидают, но решению w = 0 тем не менее ничто не мешает быть
неустойчивым. Предостережение: рисунок, приведенный выше, изображает
только модельный случай, а вовсе не типичную ситуацию. Асимптотические
кривые, исходящие из w = 0, вообще говоря, не обязаны "срастаться" так,
как изображено на рисунке.
Мы видели, что магнитную поверхность можно создать, выдержав среднее
значение 1р достаточно малым и сделав величину А из теоремы 11 отличной
от нуля. Потенциалы, создаваемые в тороидальных устройствах для удержания
плазмы, имеют в точности такой же тип, хотя те соображения, которые
определили их первоначальный выбор, отличны от изложенных здесь. Нам
удалось показать, что даже если потенциал <р выбран лишь приблизительно
таким же, как описанный выше, то и тогда существуют кольцеобразные
магнитные поверхности.
е. Приведенные выше результаты, касающиеся магнитных поверхностей,
обобщают результаты Фолкнера [9]. По поводу других подходов к задаче и
относящихся сюда численных результатов мы отсылаем читателя к статье
Гибсона и Тейлора [10], а также к работе Грэда [12]. Обычно в литературе
по "адиабатическим инвариантам" довольствуют-
194
Лекции о гамильтоновых системах
ся формальными рядами, что позволяет предвычислять орбиты лишь на
конечные промежутки времени вперед. В противоположность этому
вышеприведенные результаты позволяют получить адиабатические инварианты,
сохраняющиеся в продолжение всего бесконечного времени. На эту
возможность указал В. И. Арнольд в работе [2].
Я выражаю благодарность Мартину Брауну за его помощь в подготовке
настоящей рукописи.
Литература
[1] В. И. Арнольд, Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой
системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом
случае, ДАН, 137 (1961), №2, 255-257.
[2] В. И. Арнольд, Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в
классической и небесной механике, УМН, 18 (1963), №6, 91-192.
[3] М. Artin, В. Mazur, On periodic points, Ann. Math. 81 (1965), 82-99.
[Русский перевод: Математика, 11: 5 (1967), 3-20.]
[4] G. D. Birkhoff, Surface transformations and their dynamical
applications, Acta Math., 43 (1920), 1-119.
[5] G. D. Birkhoff, Dynamical systems, AMS, 1927, revised edition, 1966.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed