Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
P=^x{X,Y, Z)\^
я
определяет вероятность нахождения электрона в этой точке. Покажем, что,
усреднив Р по всем начальным направлениям спина, мы получим точно такой
же результат, как и при усреднении Р по двум противоположным направлениям
спина.
Выше было показано, что плоская волна, для которой спин направлен по оси
z, описывается функциями
Фз = 0, t]>4 = S
94
ГЛ. IV. СПИН ЭЛЕКТРОНА
и что плоской волне, для которой спин направлен в противоположную
сторону, отвечают функции
<!>з = "У, *4 = 0.
Обозначим через tyL значения этих волновых функций для падающей волны. В
таком случае волновая функция, описывающая электрон, направление спина
которого характеризовалось вначале углами 0 и ср, имеет вид
- sin-|- *] + cos ~ ei? dtj1.
Мы имеем, таким образом,
Р = sin2-j 2 I Фд I2 + cos2 ~ 2 I У(tm) I2 - 2 sin 6 cos +
"*)'
А А Я
где
^(ФаГ^а*1-*.
В случае спинов противоположного направления, т. е. направления,
характеризующегося углами
тс -0, тс н- ср,
получаем
р=cos2| 21 ^ I2+sin2 т 2I ^ I2+2 sin 9 cos ('Р+ая) А-
А А А
Среднее значение Р равно
л
Очевидно, что точно такой же результат мы получим при усреднении Р по
всем значениям 0 и <р.
3. Магнитный момент атома по теории Дирака. Задача этого раздела -
показать, что, согласно уравнению Дирака, в поле ядра с зарядом Ze и
магнитном поле Н, направленном по оси z, электрон ц нормальном состоянии
обладает энергией
W0±HM,
где - значение энергии в отсутствие поля, а
"-вгтГ + го-г-Г'-! (т-тг-)-
Мы покажем, что если атом находится в состоянии с энергией- НМ (спин
направлен по оси z), то функция ф3 равна нулю.
§ 3. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
95.
Волновое уравнение для электрона имеет вид [см. уравнение (4.10)]
W + '-V
2 at (^ + --)+a4^c] 4'=о,
где W - энергия, at и а4 - обычные, хороню известные матрицы [10], V -
Ze/r, а At даются выражениями
Ах=---\Ну, А2 = ^Нх, As = 0.
Мы имеем, таким, образом,
(W + eV - U + с ^ atPt + ацтпс2) <]) = 0,
t
где U - энергия возмущения, обусловленная наличием магнитного поля
U = - е(а1Л + а2Л)-При Н - 0 нормальное состояние является вырожденным.
Обозначим два решения, соответствующие этому случаю, через ф1 и Фп.
Полагая
где
/ (г) = Аг&е~т1а,
р = (1 - у*)*7* - 1*
и выбирая А так, чтобы удовлетворялось условие
4я ^ |/(г)|*г*с*г = 1,
находим эти решения, нормированные к единице [8], (j"] = iNB sin 0 е**/
= - iNB cos 0 /
<J"3 = 0 •i! = Nf
ty]1 = - iNB cos 0/
<]4Х = - iNB sin beivf $ = Nf фУ = 0.
где B = y [1 + (1 - y2)1/2]_1
Легко показать, что при этом
^ V tl)11 dx dydz = 0.
решение I,
решение II, (B2+l)iV2 = l.
ГЛ. IV. СПИН ЭЛЕКТРОНА
Для определения значений энергии атома в магнитном поле мы воспользуемся
обычным методом теории возмущений. Если AW - изменение энергии,
обусловленное наличием поля, то
hW - U1'1 - и11,1
-и1'11 д W-U11'11
= 0,
где
U1'11 = ^ tyrUtyudxdydz и т. д.
Недиагональные элементы I/1'11, как легко видеть, обращаются в нуль;
функции ф1 и ф11 являются, таким образом, точными волновыми функциями
нулевого порядка. Диагональный элемент U11,11 определяет изменение
энергии атома, находящегося в состоянии, описываемом волновой функцией
ф11.
Вычислим U11'11. Имеем
<j>na^n = фдф4 + ф2ф3 + фз'Ь + Ф4Ф1 2N2B sin 0 sin ср/?.
Отсюда
~ eHyty11^11 = eHN2B sin2 0 sin2 cp г/2.
Аналогичным образом находим, что
-Y еНЩ а2фп = eHN2B sin2 0 cos2 <рг/2.
Сложив эти выражения и проинтегрировав по всему пространству, получим
2тс 7t со
I/11'11 = eHN2B ^ dp ^ sin 0 dd ^ г2 dr sin2 0 г/2,
0 0 о
что дает
Ото выражение определяет изменение энергии атома в состоянии II,
обусловленное наличием поля Н. Аналогичным образом находим, что U1'1
определяется этим же выражением, взятым с обратным знаком.
j
При у-^0 множитель [2 (1 - у2)1^ + 1] стремится к 1. Для урана он равен
0,83.
§ 4. Рассеяние электронов силовым центром
Выясним теперь, как должны быть видоизменены соотношения, полученные нами
в гл. II, в том случае, когда движение
§ 4. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
97
рассматриваемых частиц описывается не уравнением Шредингера, но
уравнениями Дирака.
Волновая функция ф, описывающая рассеяние, имеет теперь четыре компоненты
ф4, ... , ф4, обладающие асимптотической формой
фд = алеи-г + 7--1еа'гнл(0, <р) (/,= 1,2,3, 4). (4.14)
Дифференциальное сечение /(0, ср)<Ао определяется при этом выражением
S I МА Св. <Р) I2
/(в, (p)du> = -j-----------dw. (4.15)
SKI2
1
Величины ax не являются взаимно независимыми. Воспользовавшись решениями
(4.12) для случая плоской волны, находим, что при рх - р2 - 0, р3 = к%
к%с
(1%
W + mc2 а4 ' (4.16)
независимо от ориентации спина. Аналогичное соотношение существует и
между величинами цЛ, так как рассеянная волна может быть рассматриваема
асимптотически как состоящая из ряда плоских волн, распространяющихся из
некоторого центра в различных направлениях. Можно поэтому записать
/(в- ^i"~rSVrSi"'- <4л,>
В действительности падающий электронный пучок является обычно
неполяризованным. Такой пучок можно рассматривать как состоящий из
