Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Функция у_ отлична от нуля лишь при условии s=±l; следовательно,
'/. = ei'cos -у6 (s = ~' 1)>
•/=- siny0 (s= +1).
В теории Дирака электрон описывается волновой функцией b(x>y>z) (а = 1,
2, 3, 4). у
При этом ф4 и ф2 в случае медленных электронов очень малы; фз и ф4
пропорциональны ф:
Фз = - sin у 0 • Ф ,
ф4 = eif cos-j- 0 • ф.
Величина | ф4 |2 dx dy dz определяет вероятность нахождения электрона в
элементе объема dx dy dz и вместе с тем вероятность того, что в магнитном
поле электрон будет обладать дополнительной энергией -МН.
То обстоятельство, что в случае медленных электронов функции фз и ф4
являются приближенными решениями уравнения Шредингера, доказывает
справедливость сделанного нами в § 2 предположения о том, что электрон
может быть испущен одним атомом и захвачен затем другим атомом, не
изменив при этом направления своего спина. Направление спина электрона
вообще почти не меняется, за исключением тех случаев, когда силы,
действующие на электрон, сообщают ему скорость, сравнимую со скоростью
света.
1. Анализ уравнений при скоростях электронов, сравнимых со скоростью
света. Точное решение уравнений (4.10), характеризующих движение
электрона с импульсом (ри р2, р3) и энер-
92
ГЛ. IV. СПИН ЭЛЕКТРОНА
гией W в отсутствие внешних сил, было дано Дарвином [8]; оно имеет
следующий вид:
и, Aps-\-B(p1 ipz) Qi i A(pl-\-ip2) Bps q, !/
?1==----------mc + W/i------^ '2=-----------mc + W/c ^AA>
где
*3 - HiS1 , ^4 = BS,
pi -Up! + pI = ir-m'2c2'
С _______[ 2ni(Plx +p2y + p3z-Wt)~\
Л _ eXP [ h J '
А и В - произвольные постоянные. Число электронов в единице объема
определяется выражением
(АА* + ВВ*) 2W
W + тос2
Выясним теперь, как связаны постоянные А и В с направлением спина. Мы
видели, что при условии (о/с) < 1 это направление определяется полярными
углами 0 и <р, где
~Jj=ctgTei!p- (4ЛЗ)
В случае быстрых электронов необходимо, однако, выяснить, что именно
следу-ет понимать под направлением спина, т. е. каким образом последнее
могло бы быть измерено.
Возможны два метода решения этой задачи; можно предположить, что
"наблюдатель" движется вместе с электроном, и определять направление
спина электрона по отношению к координатным осям, связанным с этим
наблюдателем; можно, однако, предположить, что электрон почти остановлен
с помощью электрического поля, и определить направление спина для этого
случая. Первый метод был рассмотрен Дарвином [9], показавшим, что
уравнение (4.13) определяет направление спина по отношению к движущемуся
наблюдателю. Второй метод мог бы быть использован для экспериментального
определения спина; можно показать, что уравнение (4.13) определяет
направление спина также и в этом случае. Это ясно из следующих
соображений.
Ограничимся рассмотрением электрона, движущегося параллельно оси г,
характеризующей направление электростатического поля. Уравнения (4.10)
сводятся в этом случае к двум уравнениям относительно <]>2 и ф4 и двум
уравнениям относительно <bj и <]>3. Исключая <!>2 из первых двух
уравнений, получаем
2тп / W + eV \ . д Г h f W 4- eV , Л Зф4 1 Л
-ТГ (-4;-------шс) Ь-ьЫ + mc) "агJ=0-
Функция <]>3 удовлетворяет аналогичному уравнению. Так как
§ 3. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
93
и ф4 удовлетворяют одним' и тем же граничным условиям, имеем
А3
- - const.
У*
При уменьшении скорости электронов отношение В/А не должно изменяться.
Уравнение (4.13) определяет, таким образом, направление спина также и в
том случае, когда движущиеся электроны остановлены с помощью
электростатического поля.
2. Природа неполяризованного пучка. Медленным неполяри-зованным пучком
мы будем называть такой, в котором электроны обладают спинами
всевозможных направлений. Неполяризован-ный пучок не может быть описан с
помощью одной волновой функции; каждому электрону пучка должна быть
приведена в соответствие отдельная волновая функция с определенными
значениями постоянных А и В.
Быстрый неполяризованный пучок может быть получен из медленного пучка
путем ускорения его с помощью электрического поля. Из соображений,
приведенных выше, следует, что наблюдателю, движущемуся вместе с
электронами, такой пучок будет казаться неполяризованным.
Покажем теперь, что пучок, в котором половина электронов обладает
спинами, направленными в одну сторону, и половина электронов - спинами,
направленными в противоположную сторону, будет вести себя подобно
неполяризованному пучку. Предположим для определенности, что пучок
электронов, движущийся в направлении (I, т, п), проходит через некоторое
электромагнитное поле. Движение пучка будет описываться волновой функцией
йд (х, у, z) ехр [ - 2z:iWt/h]. Для электронов, еще не прошедших через
поле, функция должна иметь вид плоской волны, распространяющейся в
направлении (I, т, п) и поляризованной в некотором определенном
направлении. Обозначим через X, Y, Z координаты некоторой точки
пространства, в которую пучок попадает после прохождения через
электромагнитное поле. В таком случае величина
