Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
случаях направление электронного спина может быть установлено в принципе
одинаковым образом, вообще говоря, лишь статистически. При этом средняя
или вероятная величина спина вместе с его направлением определяется
однозначно видом волновой функции у (г, s). Что касается опытного
определения магнитного момента, то оно всегда предполагает воздействие на
электрон некоторого внешнего магнитного поля, наличие которого, строго
говоря, несовместимо с представлением о полной свободе электрона. Так,
например, в однородном магнитном поле "свободный" электрон совершает
квантованное движение, напоминающее колебание гармонического осциллятора.
(Прим. ред.)
§ 3. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
89"
боды. Сделав такое предположение, можно, без помощи каких-либо
дополнительных специальных допущений, показать, что теоретическое
значение магнитного момента атома водорода должно совпадать с его
экспериментально наблюдаемой величиной. Знакомство с элементами теории
Дирака существенно для дальнейшего анализа рассматриваемого нами вопроса;
мы остановимся поэтому вкратце на основных положениях этой теории.
Согласно теории Дирака, состояние электрона описывается четырьмя
волновыми функциями
фл (*, У, z, t) (к = 1, 2, 3, 4).
Вероятность нахождения электрона в элементе объема di в момент времени t
равна
4
SIM1*' (4-9>
Л = 1
Четыре функции фл удовлетворяют системе дифференциальных уравнений [8]:
(Ро + тс) ф4 + (ру - гра) ф4 + р3фз = О,
(р0 + тис) ф2 + (рг + ip2) ф3 - р3ф4 = О,
(ро -тис)фз+(р4 -г>2)ф2 + рзф1 = 0, (4.10)
(р0 - тс) ф4 + (р4+гр2) ф4 - р3ф2 = О,
где
д_ еГ
h д еА,
Л = 25& + - И Т- Д';
V и А -скалярный и векторный потенциалы. Покажем, что эти уравнения
характеризуют движение электрона, обладающего описанными выше свойствами.
Заметим прежде всего, что если мы хотим найти периодическое решение, то
оператор р0 должен быть заменен выражением (W -\-eV) /с, где W - энергия
электрона. Если скорость электрона мала по сравнению со скоростью света,
так что
W - тис2 <1У + тс2, то легко убедиться в том, что как ф3, так и ф4
удовлетворяют уравнению Шредингера. Далее, если ф является решением
уравнения Шредингера, то приближенное решение уравнений (4.10) имеет вид
фз = Аф,
so
ГЛ. IV. СПИН ЭЛЕКТРОНА
где А и 5 - произвольные постоянные, a Pi,p2и Рз - определенные выше
операторы. Ясно, что ф4 и ф2 при этом значительно меньше, нежели ф3 и w4;
в выражении (4.9), определяющем плотность заряда, ими можно поэтому
пренебречь. Если выражение (4.9) нормировано к единице и если мы хотим,
чтобы наши четыре функции также были нормированы, то в этом приближении
должно быть
АА* + ВВ* = 1.
Выясним теперь, описывают ли решения уравнений (4.10) спиновые свойства
электрона, наблюдаемые на опыте. Нормальное состояние атома водорода
является, как известно, вырожденным; при этом в магнитном поле
энергетический уровень атома расщепляется на два уровня. Проверим,
согласуются ли эти факты с излагаемой нами теорией.
Поскольку постоянные А и В произвольны, очевидно, что нормальное
состояние вырождено. Для исследования характера движения электрона в
магнитном поле следует решить уравнения (4.10) при учете наличия поля
ядра и магнитного поля Н. Легко убедиться в том, что вырождение при этом
устраняется. Если магнитное поле направлено по оси z, то одно из решений
определяется формулами (4.11) при условии
А = 0, 5 = 1.
Это решение соответствует энергии W0 - МН; обозначим его через ф*. Второе
решение ф*1 соответствует энергии W0 + MH и определяется формулами (4.11)
при
Л = 1, 5 = 0.
Это будет показано в § 4.
Если магнитное поле не направлено по оси z, то два решения уравнений
(4.10) могут быть найдены либо непосредственно, либо в результате
исследования преобразования функций ф при повороте координатных осей [8].
Если направление магнитного поля характеризуется полярными углами 0 и <р,
то решение, соответствующее энергии W0 - МН, определяется формулами
(4.11) при
А--sin-|-0, 5 = е4(r) совуб.
Оно имеет, таким образом, вид
Лф1 + 5ф".
Эта волновая функция описывает состояние атома, обладающего магнитным
моментом, направление которого характеризуется углами 0 и <р. Если такой
атом поместить затем в магнитное
§ 3. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
91
поле, направленное по оси z, то величина j А |2 определила бы вероятность
того, что он приобретет при этом энергию -\-МН, а \В |2 - вероятность
того, что он приобретет энергию -МН.
Мы показали тем самым, что в случае медленных электронов теория Дирака
становится тождественной нерелятивистской теории Паули-Дарвина.
Сопоставим еще раз методы описания состояния электрона в этих теориях. В
теории Паули - Дарвина электрон, направление оси которого характеризуется
вектором 1 (т. е. полярными углами 0 и ср), описывается волновой функцией
Ф (ж> У, z) Хг (s),
где ф -обычное решение уравнения Шредингера; при этом HMs - энергия,
которой электрон обладал бы в магнитном поле Н, направленном по оси z.
