Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
одинакового количества электронов, спины которых соответственно
параллельны и антипараллельны направлению распространения пучка. Мы
исследуем поэтому сперва рассеяние для этих двух частных случаев.
Асимптотическая . форма функций ф3 и ф4 имеет вид
ф3 ^ eikz + r-1ei*r/1 (0, 9), 1
ф4~ r-4ikrg1 (0, ср), / (.18а)
ф3~ r~'1eu'rg2(6, 9), |
ф4 ~ егкг -\-г~гег*г/2 (0, ср). j ( • )
Формулы (4.186) при этом относятся к электронам со спинами, параллельными
направлению падения, а формулы (4.18а) - к электронам с антипараллельными
спинами. Для определения функций Д, Д, glt g2 можно воспользоваться'
решениями уравнений (4.10), найденными Дарвином [8] для того случая,
когда
7 Н. Мотт и Г. Мессн
98
ГЛ. IV. СПИН ЭЛЕКТРОНА
скалярный потенциал рассеяния V зависит только от г, а векторный
потенциал равен нулю. Дарвин приводит следующие группы решений:
фз (га + 1) GnPn (cos в), ф4 = - GnP' (cos 9) е**, I g . ^3 = nG^tP" (cos
6), ф4 = С_"_1РА(со8 9)е'*; J (r)
(4.196)
(4.20)
Фз = (cos 6) б4?, ф4 = (га + 1) GnPn (cos 9),
фз = - (cos 9) ег<?, ф4 = raG_n_tPn (cos 9),
где Gn является решением системы уравнений
1 /W eV N " , dGn п " "
X(.v "г+"") + -j- 7 с"=о,
i / W eV \ п . dFn , п + 2 " п
-П Ьг -¦-Г'- mc; G" + ~ИГ + -¦F*-0'
a 6L"_i - решение аналогичной пары уравнений, получаемой в результате
замены га на ( - га - 1).
Исключая функцию Fn, находим
(4-21)
где
1 fW eV . \ а I /¦ W eV \
Подстановка
г _ "1/2(r)л г
приводит к уравнению, имеющему такую же форму, как и уравнение Шредингера
(2.12), а именно:
*!jb + Г к2 - *_(* +1) _ Un {г) 1 &я = о, (4.22)
где
п < \ 2JF т, , 1 е2Г2 . л+1 "' 3 а'2 1 а' ,
PnW=-weF + fir + -T-IT+I7 - (4'23>
РР2_ТО2С"
к2--
П2с2
Аналогичный результат получается также и для функции @-n-i при замене га
на (- га - 1).
Первые два члена выражения (4.23), определяющего Vn(r), не зависят от
спина и являются типичными для уравнения Клейна- Гордона, описывающего
частицу без спина. Остальные члены связаны с взаимодействием спина с
орбитальным движением и зависят не только от потенциала, но также и от
силы и ее производной по расстоянию.
§ 4. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Отсюда следует, что собственные решения Gn, G_"_1 урав-
нений (4.20) имеют асимптотическую форму
G"~ г-1 sin(кг - 4- гая + ,
/1 N <424>
G-n-i ~ г-1 sin (кг - - гея + 7)_"_ 4 ) .
С помощью решений (4.19а) можно получить функции ф3, имеющие
асимптотическую форму (4.18а):
00
Ь = 2 К" + !) ei,InG" + "ei4-'G-b-i] (cos 9),
n:° v (4.25)
*4=2 (e~i4nG" + ei4_n-1G_n_i) inP\ (cos9)ei?.
tl = 1
Это дает
(e> T) = i2[(" + l) (e2iT,n -l) + n (c2il)-n-' - 1)] Pn (cos 9),
e2i,,n + c2i4-n-') (cos 9) Л (4.26)
Сопоставляя эти формулы с выражением (2.17), легко убедиться в том, что
нерелятивистский случай отвечает условию т]п = ''l-n-i-В случае
параллельных спинов [решения (4.186)] аналогичным образом находим, что
Ы9, ?)-/i(9, ?) = / (9)
и
ft(9" ?) - - s(9)e-i!p>
где
gi(9> ?) = *(9)eiT. (4.27)
В общем случае произвольного первоначального направления спинов, когда
падающая волна описывается функциями
ф3 = Aeiiz, ф4 = Beikz, путем линейной комбинации найденных выше решений
получаем
u3 - Af - Bge~^, щ = Bf + Ageif,
так что
' (9) = I /12+k I2+(fg* - 8t*) • <4-28>
1. Поляризация. Из (4.28) следует, что рассеяние частично
поляризованного пучка зависит не только от угла 9, но также и от угла ср.
Таким образом, в случае, соответствующем фиг. 11,
7*
400
ГЛ. XV. СПИН ЭЛЕКТРОНА
интенсивность рассеяния в направлении CD отлична от интенсивности
рассеяния в направлении СЕ. Эффект такого рода можно было бы обнаружить
путем исследования повторного рассеяния электронного пучка. Пусть
неполяризованный пучок электронов падает на экран В. Электроны пучка,
рассеянные в направлении ВС, попадают, далее, на второй экран С. Этот
рассеянный пучок частично поляризован в результате рассеяния от экрана В,
А
так как в общем случае рассеивающее поле оказывает различное влияние на
электроны с параллельными и антипараллель-ными спинами. В результате
электронные пучки, испытавшие вторичное рассеяние в направлениях CD и СЕ
под одним и тем же углом 02 ко отношению к направлению ВС, будут обладать
различной интенсивностью.
Подобная теория такого двойного рассеяния впервые была разработана Моттом
(И, 12). Падающий неполяризованный пучок мы, как всегда, будем
рассматривать как состоящий из равного количества электронов со спинами,
параллельными и антипарал-лельными направлению падения пучка. Для
электронов падающего пучка, обладающих антипараллельными. спинами, имеем
ф3 - Aeikz, ф4 = 0, АА*=~. :
После первичного рассеяния на угол в1 в плоскости ср = 0 (плоскость ABC
на фиг. 11) компоненты волновой функции будут . ирбпорййрйальны Дд_(0д) и
Ag1(61). Повернем теперь координатные оси на угол 0! таким образом, чтобы
ось z была направлена
S 4. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ ЦЦ.
вдоль ВС, а плоскость ЛВС осталась плоскостью <р = 0. В этой новой
координатной системе имеем
