Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
как если бы у кристалла сегнетоэлектрика в Ж\ имелась одноосная симметрия
по отношению к термодинамически обратимым характеристикам и, кроме этого,
в нем имелись бы начальные поля (с осевой симметрией)
(7.9.42).
Если бы мы предположили в фазе параэлектрика материал с более узкой
группой симметрии, то в фазе сегнетоэлектрика мы получили бы еще более
ограниченный тип симметрии. Типа симметрии, свойственного рабочим
гипотезам (7.9.40), фактически достаточно для исследования динамического
отклика на малые возмущения таких материалов, как ВаТЮ3 (см. гл. 1).
Действительно, если линеаризовать все уравнения относительно состояния ЖR
(в котором нет начальных полей), при этом по-прежнему придерживаясь
гипотезы (7.9.40), то легко показать, что тензоры 0eijk, LEt и 0а?
тождественно равны нулю (в изотропном случае тензоры нечетного порядка
могут быть только нулями). В результате материал не получил бы ни
пьезоэлектрических, ни пироэлектрических свойств. Наложение сильного
электрического поля и, следовательно, большой статической поляризации
придало материалу минимально необходимый тип симметрии, нужный для
возникновения пьезоэлектричества и пироэлектричества. Это точно
соответствует экспериментальной ситуации, исследованной в 1946 г. Ржано-
вым для ВаТЮ3.
Необратимые процессы, описываемые тензорными коэффициентами oKij, оШ/ы,
оa-ijk, obijk и одинамические относительно состояния Жи В соответствии с
результатами (7.9.42) и
(7.9.43) можно считать, что соответствующие тензорные коэффициенты
являются тензорными функциями с осевой симметрией относительно оР. Для
таких тензорных функций имеется простое правило, гласящее, что все они
линейно выражаются через единичный диадик Ьц и его возможные тензорные
сверт-
§ 7.9. Линеаризованные уравнения для сегнетоэлектрич. кристаллов 491
ки с оPk с учетом уже имеющегося типа тензорной симметрии. Поэтому с
учетом отмеченных свойств симметрии положим
(A\ijpq = Н" ^2 i^ip&jq + ^jp^iq) "1" Лз (6,/ 0Pq "Ь
+ bpq 0Pi 0Pj) + у tl4 (оРi 0Pq&jp + ОРj ОРq&ip +
+ о Pi оР р &iq + oPj оРр &tq) ~h Щ оР i 0 P i О P p О P q> (4.9.44)
Оaijk - aY &it йРk + ^2 (btk QPi + 6k/ 0Pt) + a30Pi0Pj QPk,
(Pisk - bi б,/ 0Pk + b2 (6ik 0Pj + bkj QPi) + b3 QP10P/ 0Pk,
0%! = S', &,; + ?2 0P(, oKt, = /Cl ft,; + K2 0Pi oPp
здесь коэффициенты irja, aa, ba, ffa и Ka зависят только от o0 и 0P-
Наконец, так как 0$?i - аксиальный вектор (см. (7.9.22)) и дВ, -
единственное аксиальное векторное поле, имеющееся в конфигурации Жи то мы
можем принять для него следующее линейное выражение:
01 = Г(0Р2, о0) 0В. (7.9.45)
Запись этого соотношения заканчивает формирование системы определяющих
уравнений для описания малых возмущений. Определив коэффициенты (7.9.43),
найдя для этого выражения для производных от энергии и выразив их через
комбинации коэффициентов (7.9.44) (это сделано в работе [Maugin, Pouget,
1980]), найдем явный вид электротермоакус-тических уравнений (7.9.24),
(7.9.25) и (7.9.33) в случае, когда функция для энергии имеет вид
(7.9.40), здесь D = 0p • V; А'
= Ad/dt.
Уравнение движения
oPU = (С, + А\) V (V • и) + (С2 + a;) v2u + (С3+ JQ V [D (0Р • и)] +
+ (С4 + С5 - С8 + А1) D2 и + 0PC6V (0Р • р) + 0Р (2С8 - <в\) Dp -
- 0pC9V (V • р) + De + 10р (р X 0В) + v,V0 + 0Р [(С8 + С4 + А\) X
X D (V • и) + (С5 + А\) V2 (0Р • и) + (Сп + A\\D2 (0Р • и) +
+ 2 0рС8 (V • р) + 0р (С10 - Щ) D (0Р • р) - oPC12D (V • р) + v2D0]-
(7.9.46)
Уравнение для поляризации dEP = е +1 (и X 0В) - 2C8V (0Р • и) - (2С8 - %)
Du -
- C9V (V • и) - C12V [D (0Р • и) - (2С4 + Г{) 0рр + C13V (V • р) + +
CuV2p + C15V [D (0Р • р)] + C17D2p + 0Р (C16V2 (0Р • р) +
+ CisD2 (0Р . р) _ С6 (V • и) - (С10 ~ 4%) D (0(Р • р) -
-0р(С7 + 4Г2)0Р-р-аё). (7.9.47)
492 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
Уравнения Максвелла
VXe+yb = 0, V • b == О,
VXb-y(4 + 0pp) = -iDu, (7.9.48)
V • (е + 0рр) = V • {Du).
Уравнение распространения тепла оСб = + K2D2Q + O0V! (V • а) + об (v2 +
a) D (0Р • ti) -
- (оР00) я(0Р * Р) + орА; (7.9.49)
коэффициенты Са и Са легко выражаются через производные от функции для
плотности энергии, фигурирующие в соотношениях (7.9.43) [Maugin, Pouget,
1980].
Соответствующие граничные условия для случая квазиэлектростатики при
отсутствии диссипативных процессов следуют из соотношений (7.9.36) -
(7.9.38), мы приведем их явный вид только в примерах.
Е. Уравнения, полученные на основе динамики решеток
Тем же методом, каким можно вывести линейные уравнения для упругих ионных
кристаллов как длинноволновый предел уравнений модели динамики решеток,
можно получить и линеаризованные уравнения, описывающие упругие
сегнетоэлект-рические кристаллы определенного типа (со смещением, с
молекулярной группой и т. д), как длинноволновый предел соответствующей
модели динамики решеток. В последней должно быть учтено характерное
свойство сегнетоэлектриков в их сегнетоэлектрической фазе, т. е. наличие
микроскопических постоянных электрических диполей. Такие модели были
