Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
оРи = С,V (V • u) + C2V2u + C3V (D (0Р • u)] + (С4 + С5 - С8) Z)2u + 1
+ oPQV (0Р • р) + 2 0pC8Dp - оРОУ (V • р) + . '
+ 0Р [(С3 + С4 + С8) D (V • u) + C5V2 (0Р • u) + CUD2 (0Р • и) + (
+ 2 0рС8 (V • р) + орСю?) (0Р • р) - оРCl2D (V • р)] - V (Dj>).
(7.11.4)1
Уравнение для поляризации
dEр= - - 2C8V (0Р • и) - 2C8Du - C9V (V • и) -
- C12V [D (0Р • и)] - 2С4 оРР + C13V (V • р) + CUV2P +
+ C15V [D (0Р • р)] + C17D2p + йР [C16V2 (0Р • р) + C18D2 (0Р • р)
-
- С6 (V . и) - C10D (0Р • р) - 0рС7 (0Р • р)]. (7.11.5), Уравнение
Максвелла
V2<j> = V (0рр - Du). (7.11.6)
Вне области 0В, т. е. при х2 С 0, имеем
V2<f> = 0; ф ->0 на бесконечности (т. е. при х2->- оо). (7.11.7)
Эти уравнения нужно дополнить граничными условиями на д 0В. По причинам,
которые станут ясны далее, мы будем рас-
Рис. 7.11.1. Задача о поверхностных волнах в упругих сегнетоэлектриках
(ортогональная ориентация, oP-LPs).
сматривать конфигурацию сегнетоэлектрика с сильным начальным
электрическим полем оЕ, направленным вдоль осих3. Сле-
§ 7.11. Взаимосвязанные поверхностные волны в кристаллах 509
довательно, вектор оР направлен вдоль оси Хз и
0Р = (0, 0, 0Р) при х2 > 0, (7.11.8)
Я = оР-? = 1оР|^- (7.11.9)
Введем также оператор градиента в плоскости {хз = const) или s-плоскости:
(7'1U0)
Решения (7.11.1) будут также считаться не зависящими от х3, так что при
начальной ориентации (7.11.8) имеем
D = 0, или V = VS, (7.11.11)
а также
S?{xu х2, t) = {u (xi, х2, t), р(хь х2, 0, Ф(хи х2, t)}. (7.11.12)
Тогда уравнения (7.11.4) - (7.11.7) принимают вид
оРи = CJ, (V, • и,) + ОД + оРС6 0PVsp3 -
-lopC^s (*s • Рs) + <Лз [o^Wa + 2opCs (V, • Ps)}, (7.11.13)
dEp = - Vяф - 2C8 оPysu3 - C9VS (Vs ¦ us) - 2C4 0pp -f-
+ V,(VP,) + cuva> +
+ <Лз C6 (Vs • us) оР^о^Рз]' (7.11.14)
^ = 0P(VPe) ПРИ x2>°- (7.11.15)
V^ = 0 при *2<0; ф -*¦ 0 при x2-> -oo; (7.11.16)
здесь u5 и ps - компоненты векторов u и p в s-плоскости. Так
как векторы оЕ и оР параллельны, то можно показать, что гра-
ничные условия (7.9.36) -(7.9.39) при нулевых Г и if принимают следующую
форму:
*21 + 7г 0Р oEiP2 ~ "1.1Л = °. (7.11.17)
= 0, (7.11.18)
е+ - е2 - 0рр2 = 0, (7.11.19)
где е+ = -Vs^>+ - значение на внешней стороне поверхности х2 = 0; при
этом надо учесть, что в начальной конфигурации мы необходимо имеем
0wf = 0, tf2t = 0, о/|{ = 0, о ^21= 0" (7.11.20)
510 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
разумеется, если учесть тот факт, что оЕ + =0, То = 0. По- | следние два
соотношения (7.11.20) приводят к равенствам
0(aS/a/,) = 0, 0(dS/d/5) = 0. (7.11.21)
Остальные определяющие уравнения, необходимые для записи ( в явной форме
граничных условий (7.11.17) и (7.11.18), имеют | вид
hi = tf* + оР^Мз - %iP2, о (7-11-22)
LE2( = o^fe2uft,; "Ь ffittkiPk, i> (7.11.23)
где
^2i ~ \<Pi2oq 06i2p О^З^З 0^(1 \ q |^2)p] Up, a ^ ()P 0E(2fePfe-
(7.11.24) |
Мы будем рассматривать плоские волны, распространяющиеся вдоль оси Xi
(см. рис. 7.11.1). Как принято в акустике, s-плоскость называется
сагиттальной плоскостью. Легко видеть особенность полученной системы
уравнений (7.11.13) - (7.11.16) с граничными условиями (7.11.17) -
(7.11.19) и условием непрерывности
ф+ = ф~ при х2 = 0; (7.11.25)
она расщепляется на две системы по отношению к следующим двум множествам
переменных:
5?° = {"з. Р.,Ф}, Sf* = {us, Рз}. (7.11.26)
Второе из этих множеств показывает на языке волнового описания
возможность распространения компонент упругого перемещения в сагиттальной
плоскости. Поэтому это волновое решение соответствует классической моде
Рэлея (см. § 2.14), хотя она и связана с колебаниями компоненты
электрической поляризации вдоль направления начальной поляризации. Это
приводит к понятию сильно диспергирующих волн Рэлея.
Первое множество переменных в (7.11.26) содержит переменную, описывающую
колебания упругого перемещения вдоль направления, ортогонального
сагиттальной плоскости, взаимосвязанные с колебаниями электростатического
потенциала. Поэтому это волновое решение аналогично так называемой моде
Блёстейна - Гуляева § 4.11. Кроме того, в этом решении проявляется
взаимодействие с колебаниями компонент динамической поляризации в
сагиттальной плоскости. Следовательно, в целом мы здесь имеем
взаимодействие мод Блёстейна - Гуляева с поверхностными поляритонами. Две
системы решений
§ 7.11. Взаимосвязанные поверхностные волны в кристаллах 511
(7.11.26) подробно исследованы в работах [Pouget, Maugin, 1981а, b).
В следующих двух пунктах отметим наиболее характерные моменты этих
решений.
В. Моды Блёстейна - Гуляева
Представив электрическую поляризацию р = ps в виде разложения Гельмгольца
Р = (Ри Ръ 0) = Vx + V х К - (х,, + к, 2 + *, 2 - К, и 0), (7.11.27)
преобразуем систему уравнений (7.11.13) -(7.11.15) при х2 > 0 к виду
оР"з = (С2 + qP2C$) V2"3 2 0pCgV2x,
йЕ% = -ф-2 0PCsu3 - 2 0pC4x + (C13 + C14) V2x, j
dEK = -2 0pC4K + С нГэК, ' '
0 = V2 (орх - ф),
а граничные условия (7.11.17) - (7.11.19) при х2 = 0 записываются в виде
