Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
пренебрегать инерцией поляризации, а также считать, что нет внешних
полей, действующих на тело (f = 0, ?о = 0). Поэтому полевые уравнения
линейной теории для объема диэлектрика имеют вид
divt = pu, (7.7.3)
E + LE + p~1diviE = 0. (7.7.4)
Система уравнений (7.7.2) - (7.7.4) замыкается формулировкой
•определяющих уравнений (7.4.17), в которые, однако, не входит b\j, так
как мы будем рассматривать бесконечную среду (см. замечание в § 7.5;
однородное напряжение а,-/ также отбрасывается) :
*ц - Cjikieki + fukPk + dki]iPij k,
LEj - - (aikPk + gjkiPi, k + fkijeki) > (7.7.5)
L^a = P (gkuPk + bjihiPit
В качестве демонстрационного примера рассмотрим задачу о распространении
вдоль оси х3 плоских поперечных волн. Это означает, что компоненты и3, Рз
и Е3 равны нулю, а остальные компоненты иа, Ра, Еа (а = 1, 2) являются
функциями только х3 и t, т. е.
§ 7.7. Акустическая активность ионных кристаллов 477
С учетом этого обстоятельства из (7.7.2) - (7.7.4) получаем сле-
дующую систему уравнений:
^1з, з~ P^i> ^23,3 = P^2> (7.7.7)
Pi + ^+P'1 ^13,3 = 0, E2 + lE2 + р-'ЧЕ23,з = 0, (7.7.8)
Е\, зз = (Е: + Л), Р2, зз = с~2 (4 + Ъ), (7.7.9)
а определяющие уравнения (7.7.5) принимают вид
^13 = СаЩ, 3 flJ32 + ^74-7*1, з, ^ ^
^23 = С44%, 3 "Ь /нР 1 "Ь d74P2, 3,
- LEl - fl4U2, 3 "Ь allP1 + gnP2, 3. (у -j [
- lE2,= - fuuit 3 + anP2 - gl7Pu 3;
так как мы рассматриваем кристаллический класс 32, к которому принадлежит
альфа-кварц, то
Ро 1 %3 = ^74Ui, 3 ?17^2 "Ь ^65^*1, 3' J 7 I2J
Ро 1 L^23 = ^74И2, 3 "Ь SljPl "t- ^55^2, 3'
Подставив выражения (7.7.10), (7.7.11) в (7.7.7) и (7.7.8), получим
уравнения
С44Щ, зз - /гЛ, з + d74Plt зз = рй-i, ^ ^ ^
C44U2, 33 "Ь f uPl, 3 + d7iP2> зз == pii2,
^74Ц1,33 2gi7P2,3 + ЙвбР^зз f 14^,3 аи7)1 + ^1 = 0> ,
^74U2, 33 + 2g17P,, 3 + bb$P2,33 + f 14M1, 3 ацР2 + ?2 = 0,
к которым следует присоединить уравнения (7.7.9). Решения (7.7.6) имеют
вид
("а, Л, ?а) = (Йа, Л,, 4) { 8Ш ^*3 ~ " = U ( g
(. cos?(x3-of), <*==2.
Подставив эти выражения в (7.7.13), (7.7.14) и (7.7.9) и объединив
попарно в виде сумм и разностей полученные уравнения, придем к следующей
системе уравнений:
(с44 - РУ2) (й[ ± й2) + (d74C 4= /и) (Pi ± Р2) = О,
(dnC + fu)(d\ dz й2) -f- (655С2 + Оц -Н 2g17?)(P! dh P2) - (7?i dz E2) -
0,
(7.7.16)
(0/с)2 (P, ± P2) - [1 - (v/c)2] (?, ± P2) = 0.
Для амплитуд имеются два очевидных решения, соответствующих волнам с
круговой поляризацией, т. е. амплитуды
478 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
должны удовлетворять равенствам
Й1 = ±й2> Р1 = ±Р2, ЁХ = ±Ё2; (7.7.17)
здесь все знаки либо верхние, либо нижние. Подстановка этих соотношений в
(7.7.15) показывает, что соотношения с верхними и нижними знаками
отвечают соответственно волнам с правой и левой поляризацией. Условие
совместности линейных уравнений (7.7.16) для нетривиального решения в
амплитудах приводит к дисперсионному уравнению:
j" с44 ру2 й?74? Ч- f i4 0 "|
D (?, v) = ¦ dut =F fi4 + an + 2gxlt 1 i = 0. (7.7.18)
!- 0 1 (c/v)2 - 1 i
Это есть квадратное уравнение относительно у2, поэтому мы имеем два
случая вращательной поляризации, соответствующие двум парам
противоположно направленных волн с круговой поляризацией; каждая
составляющая пары означает появление линейно поляризованной волны с
вращающимся направлением поляризации. Эти два случая можно назвать
соответственно оптическим и акустическим, если представить дисперсионное
уравнение Z)(?, у) = 0 в виде разложения на электромагнитную и
электромеханическую составляющие. Такое разложение основано на большой
величине отношения частот (порядка 105), при которых можно наблюдать эти
эффекты.
Уравнение (7.7.18) является примером дисперсионного уравнения для
взаимосвязанных упругих и оптических явлений в; упругих диэлектриках типа
альфа-кварца. Оптическая активность альфа-кварца находится приравниванием
нулю минора верхнего левого элемента детерминанта ?>(?, у). Таким
образом, можно получить оптический показатель вращения, пропорциональный
("+ - "_)/("+ + "_), где п± - два возможных показателя преломления с/у,
прямо пропорциональных материальной постоянной gn. Это в свою очередь
дает нам средство-определения gи по известному показателю вращения. Для
левополяризованного кварца, таким образом, получается, что gxl = g-132 =
0.19 м2/Ф [Mindlin, Toupin, 1971].
В. Акустическая активность альфа-кварца
Электромеханическая составляющая детерминанта D&, у) в (7.7.18) с хорошей
степенью точности представляется минором нижнего правого элемента.
Соответствующее дисперсионное уравнение тогда имеет вид
с44 ру2 d74? + f i4
§ 7.7. Акустическая активность ионных кристаллов 479
В явной форме акустическое дисперсионное уравнение записывается в виде
_ (7.7.20)
у ± 44 (bosZ,2 + an +2gnQ v '
При отсутствии взаимодействий d7i - fl4 = 0 yiv±~(culpo)112-Если d74 и /и
не равны нулю, то уравнение (7.7.20) показывает, что суперпозиция двух
мод приводит к появлению вращательной поляризации (это так называемый
