Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
эффект акустической активности, согласно которому ориентация возмущения
механического перемещения вращается вдоль направления распространения
поперечной упругой волны), соответствующий показатель акустического
вращения определяется формулой
0ас = 1/2"(и:1 -о;1); (7.7.21)
здесь со - угловая частота. Уравнение (7.7.20) показывает, что обе моды
диспергирующие (v зависит от ?). Соответствующий длинноволновый предел
(нулевая частота) равен
Игл и2± = р"1 [с44 - (f2u/an)\ = ст = cf4/p. (7.7.22)
Этот результат таков, как если бы градиенты электрической поляризации
были отброшены. Для умеренно больших волновых чисел первого порядка по ?
из уравнения (7.7.20) имеем
CT/V± = 1 =F f (7.7.23)
c44
з показатель акустического вращения равен
Вас " Р idn - gl7eH) eHco2/(d)2. (7.7.24)
Таким образом, 0ас пропорционально квадрату частоты. Постоянная упругости
сД и пьезоэлектрический коэффициент ец, так же как и р, 0ас и со,
известны из экспериментальных данных ]Pine, 1970]:
cf4 = 57.97 • 109 Н • м2, е14 = - 0.0406 Кл • м~2,
р я* 2.65 • 103 кг • м"3, 0ас = 22О рад-м-1 (при 1 ГГц), (7.7.25)
со " 2л ¦ 109 рад • с~'.
Приведенное здесь значение для 0ас соответствует направлению
распространения вдоль оси тригональной системы. Так как коэффициент g\7
уже был вычислен в предыдущем пункте, то неизвестную материальную
постоянную d74, характеризующую взаимодействие между деформацией и
градиентами электрической поляризации, можно найти из соотношения
(7.7.24).
480 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
Из уравнения (7.7.24) имеем
0ас / Е \2
<г'< = -^52- + ^..- (7.7.26)
При значениях (7.7.25) первое и второе слагаемые в выражении (7.7.26)
равны -174 и -77-10-4 В соответственно, поэтому
Угол (град) с осью г
Рис. 7.7.1. Экспериментальная величина акустической активности в альфа-
кварце [Pine, 1970].
вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с первым. Это позволяет
переписать результат (7.7.24) в виде
0ас " <Vu<"7(pcr). (7.7.27)
Экспериментальные результаты [Pine, 1970] представлены на рис. 7.7.1.
§ 7.8. Другие задачи для упругих иониых кристаллов
С момента введения в 1968 г. Миндлином [Mindlin, 1968] градиентов
поляризации в число параметров упругого диэлектрика рассмотрено много
других задач и найдено много решений для электроупругих материалов. Кроме
задач о распространении поверхностей разрыва (ударных волн), которым мы
уделим особое внимание в § 7.13, укажем для сведения читателя работы,
посвященные следующим задачам.
Статика. Задача о влиянии концентрированной силы и родственные задачи с
функциями напряжений и представлениями Папковича как для упругого
перемещения, так и для поляризации [Schwartz, 1969], задача об
интенсивности концентрации
§ 7.9. Линеаризованные уравнения для сегнетоэлектрич. кристаллов 481
напряжений около цилиндрического отверстия (вызываемое ими разрушение
может произойти при меньших нагрузках, чем можно было ожидать на основе
классической линейной теории упругости [Gou, 1971]), задача о линейной
трещине в ионном кристалле (показано, что поверхностная энергия трещины
будет ограничена) [Askar et al., 1971], задача о точечном заряде в
твердом диэлектрике [Mindlin, 1973], задача о влиянии дислокаций и
включений [Nowacki, Hsieh, 1986].
Динамика. Вывод дисперсионного уравнения в квазиэлектростатике [Askar et
al., 1970], задачи о распространении поверхностных волн Рэлея [Nowacki,
1983], об излучении вибрирующего шара [Mindlin, 1974], о функциях Грина в
динамических задачах [Nowacki, Glockner, 1979], о распространении волн с
учетом тепловых эффектов [Beevers, Craine, 1985], об асимптотическом
поведении одномерных нестационарных решений [Craine, 1986].
Это всего лишь несколько примеров. Более обширную библиографию читатель
может найти в обзорах Миндлина [Mindlin, 1972] и Новацкого [Nowacki,
1983, гл. 2].
§ 7.9. Линеаризованные уравнения для сегнетоэлектрических кристаллов
А. Наложение малых динамических полей на стационарные фоновые поля
Если заданы определяющие уравнения, например те, которые приведены в §
2.3, приняты во внимание выражения для материальных электромагнитных
полей гл. 3 и условия, начальные в момент t = to и граничные на
поверхности дВо, то система уравнений в объеме и на границе (7.3.52) -
(7.3.59) при заданных f и h теоретически определяет нелинейное
динамическое решение
S, = {х = Ж (X, t), Е (х, t), л (X, 0, В (х, t), р (X, 0, 0 (X, /)};
(7.9.1)
при этом для сегнетоэлектриков должно выполняться условие
0 " 0С. (7.9.2)
Здесь 0с - температура перехода в фазу сегнетоэлектрика. Конфигурация Жя
отвечает решению
S* = {X = X, 0, 0, 0, р0 (X), е0 (X)}. (7.9.3)
Отсчетная конфигурация Жя в момент t0, соответствующая решению Su с
дро/дХ = 0 и <90о/дХ = 0, обозначенному через
S?0 = {x = X, 0, 0, 0, ро, 0О}, (7.9.4)
31 ж. Можен
482 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
является идеальной в том смысле, что она свободна от деформаций,
механических нагрузок (7 = 0) и электромагнитных полей (т. е. Wf = 0). В
