Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Умножая уравнения (7.10.5) и (7.10.6) скалярно на s, полагая
йг = и • s, pz = p-s (7.10.8)
и пренебрегая взаимодействием между этими двумя амплитудами, найдем
(е^72 - Q2) йг = 0, dE (<7ае? + 1 - Q2) рг = 0, (7. J 0.9)
где
(7.10.11)
q = ckjto о, Q = (c)/(c)о,
(r)§ = (оР/^)(1 +2С4 + Сг0752). (7.10.10)
ei = е1 ^1ез> 8? = е2 + ^2е3'
= 2 (С3 + С4 + С5) + Сп 0Р2,
G2 = (2С15 + С16 + С17 + С18 оР2)/Й?.
Параметр е? характеризует скорость распространения акустических волн,
рассчитанную с учетом начальной поляризации при отсутствии дисперсии, а
параметр е? характеризует скорость распространения оптических мод при
больших значениях q с учетом поправки, вносимой 0Р- В частности, в фазе
параэлектрика е? переходит в е2. Тогда при й2ф0 и ргФ 0 уравнения
(7.10.9) приводят к следующим значениям фунда-
496 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
ментальных безразмерных частот йю и й2о:
Q20 = 8^, Й|,= 1+еР<72. (7.10.12)
При указанных выше оценках для еа справедливо eeL > е? и (о0 1013 рад/с,
так что оптическая ветвь попадает в инфра-
красную область и в этом случае не может быть никакого взаимодействия
между акустической и оптической ветвями в пределах применимости
континуальной теории. Если градиенты поляризации отбрасываются, то
оптическая ветвь просто совпадает с прямой линией Q = 1.
Теперь мы рассмотрим полную систему из взаимосвязанных уравнений (7.10.5)
и (7.10.6). Условие совместности этой системы линейных уравнений для
существования решения для взаимосвязанных амплитуд йг и рг с учетом
(7.10.11) в общем случае записывается в виде
(й20 - й2) (Й20 - й2) + [iql (0Р/с /^) -
- (в4 + С12е3) <?2] [iqk (0Р/с ) + (в* + С128з) q1} = 0, (7.10.13)
где
X2 = opF2Jc4B, F = С6 + 4С8 + С,о 0Р2 - 1, С12 - С12/л/ТЕ.
(7.10.14)
Оставляя в уравнении (7.10.13) только члены первого порядка по параметру
взаимодействия ез, получим приближенное дисперсионное уравнение
Dl (Q, q) = (Й20 - Й2) (Qgo - Й2) - 83ЛУ = 0. (7.10.15)
Таким образом, учет взаимодействия только слегка
модифицирует кривые (7.10.12) на величину порядка Ve3-
Действи'
тельно, если искать решения уравнения (7.10.15) в виде
Q2 = q2q + А&з> "=1, 2, (7.10.16)
то приходим к следующим двум решениям:
Q2 = Q?o + e3Ay/(Q20-Q?0).
Щг = Що ~ о - й20). (7Л°Л7)
Так как кривые (7.10.12) не пересекаются, то решение (7.10.17) не
приводит к появлению какого-либо резонанса (поскольку в континуальной
теории всегда Й2о Ф Й?о).
Рассмотрим теперь поперечные моды при продольном расположении (7.10.3).
Пусть j - единичный вектор, ортогональ-
§ 7.10. Взаимосвязанные объемные волны в сегнетоэлектрич. кристаллах 497
ный s. Положим
Спроектировав уравнения (7.10.5) и (7.10.6) на направление вектора j при
q2 Q2, считая е(r) и~е? бесконечно малыми и пренебрегая взаимодействием
между амплитудами, получим несвязанную систему уравнений
Параметр еет здесь характеризует величину скорости распространения
акустических волн (ст - скорость распространения обычных поперечных
упругих волн), а е? -- скорость распространения оптических мод,
измененную начальной поляризацией. Соотношение (7.10.19) t связано с
акустической модой, а про соотношение (7.10.19) 2 можно сказать, если
следовать гл. 1, что оно дает решения поляритонного типа (здесь имеется
взаимодействие между оптической и электромагнитными ветвями). Одно из
этих решений соответствует нижней оптической ветви или так называемой
мягкой моде, а другое - верхней (сох ^ 1013 рад/с). Для больших значений
Q скорости волн, соответствующие последней ветви, приближаются к скорости
света с и, таким образом, эта ветвь является квази-электромагнитной.
Заметим, что при данных выше оценках ? > еет > е?, так что ветвь,
описываемая соотношением (7.10.19) 1, может пересекаться с ветвью мягкой
моды, отвечающей (7.10.19) 2, в точках
Эти значения находятся в области применимости феноменологического
описания. Заметим также, что если градиенты поляризации не учитываются,
то мягкая мода имеет горизонтальную асимптоту Q = ?, которая отсекает не
что иное, как обычную частоту поперечных оптических колебаний.
Рассмотрим теперь полную систему из взаимосвязанных уравнений для ни р,
которая получается из уравнений
(7.10.5) и (7.10.6). Пусть Q10 - решение дисперсионного уравнения,
полученное из (7.10.19) х, а Пго и Q30-два решения
32 Ж. Можен
е1 = Ч/оРС" = сгЛ" е2 = Ч*/^ав> ег - 81 + (С4 + С5 С8) е3, е? = е2 +
(Cl7/dE) е3.
q2 (р28ет - Q2) и - 0, dE [Q* - Q2 (1 + q2) + q2(t + 4<72)] Р = 0-
(7.10.19)
<7о = (S - 4)/(4 ~ 8r)> Qg = " (7-10.20)
498 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
дисперсионного уравнения, определяемые из (7.10.19) 2, т. е. D? (fi, <7)
э Q* - Q2 (1 + Ц2) + q2 (? + e^^Q2- fi20) (fi2-fi20)=0.
(7.10.21)
Тогда дисперсионное уравнение для поперечных мод с учетом взаимодействия
в первом порядке по е3 можно записать в виде
Dr (Q, q) = DeT (Q, q) DPT (Q, q) - p (2C&q2 + Q2) e3 = 0, (7.10.22)
где
Dj (Q, <7) = q2er - fi2 = fi20 - fi2, Ц = (1 + 2С4Г'. (7.10.23)
