Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Р (X, t) = оР + [бдр] (X, t) - оР + бр,
е (х, О-о0 + [бх0](х, 0=о0 + ё;
здесь
S? = {и = ЬХЖ, р=6хя, е = 6*Е, Ь = б*В, бр = бхр, ё = бхе}
(7.9.21)
- зависящее от времени возмущенное решение. Полевая величина и есть не
что иное, как бесконечно малое перемещение от Ж{ к Все вариации в решении
(7.9.21) бесконечно малы, так что решение St в определенном
топологическом смысле постоянно находится в окрестности S. Например,
j u (X, t) | ¦= | Ж (X, t) -оЖ | = | Ж (X, t) - X | = О (eL) V (X, t),
(7.9.22)
где е - бесконечно малый параметр, a L - характерная макроскопическая
длина. Из введенных определений непосред-
(7.9.20)
§ 7.9. Линеаризованные уравнения для сегнетозлектрич. кристаллов 485
ственно следует, что
6x/==o/(V • u) = V • u, 6XJ~! = - V u,
bx9 = 6p = - 0p (V • u),
(Xl, t)~ - &x (xi< K) - ui, fiiK> (7.9.23)
^X^KL = u(i, /) biK^lL, = &Ki (oPPi ~ 0Piui, /).
^хПдх = ^>XiPi, filL, = oPP 0P(V- u),
= e + ~ u X oB, 6*p = 0pp - (0P • V) u;
точка над символом здесь теперь обозначает частную производную по
времени. Отметим, что если поля f и g пространственно однородны в о5, то
обе вариации совпадают.
В. Линеаризация уравнений для объема
Применим описанную выше процедуру линеаризации к уравнениям (7.3.52) и
(7.3.55) для объема тела, когда определяющие уравнения заданы в виде
(7.3.90) - (7.3.92). Взяв бх-вариацию, учитывая правила коммутации
(2.15.6) и выражения для вариаций дх^м, 6х hEi, б* L(SKi, после довольно
длинных выкладок получаем уравнения
opu = divF+(0p/c)(pXoB) + (oP • v)e, (7.9.24)
dEP = е + ^ it X 0B + LE + oP_I div LE. (7.9.25)
Здесь
= tfj "b LEioP] + о (oPPj оPkui, k) о^г/Р/, p> (7.9.26)
4i = [o^llpq ~ 0sIIP 0Pq + t/(1 | q I6/) p] Up, q +
"Ь oP tfitlkPk "b (o^l</p? tflilp 0Pq) йр, q "Ь
+ 0P0 attkPk - Eiii' (7.9.27)
Lpl ~ [o Pp^lq "F 0epqi O^ip* 0P q] Up, q
oP oKi/Pi "F "Ь [o^p<7< (o^ip "Ь 0^ ip) 0Pq\ "p. q
- oP (o&n + $ц) Ph (7.9.28) L^i;~' o^kiuk, i "F о^ijkiPk.i' (7.9.29)
486 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики где
oCtjpq == о(^2^А<)EMs) 6iK&jL&pM&qN == oC(il)(pq) == 0Cpqij,
оeilk - о(д22/<Шм dEKL) biKbjLbkM = 0Ецк,
^ = o(d^mKdUL)6iK6.L = oXii\
(А/ы = о(d2%/dHKL дПмлг) biKbjLbkMb[N - 06knj, ovij = o(d2S/d0 dEKL)
blKbiL = 0Vjh ^ ^
0а, = 0(а2Е/аеапк) biK,
(ftijpq 0 ^iK^l'L^pM^qN 0rl(t/) (pq) 0*1pqij>
tflljk = 0i^KLM) Ьц(ЬцЬш = ой/tfe,
O^ii = oC^Ki) bil(bjL = o&ji,
o$ii - о($kl) ЬщЬц = ~ fin.
Фци = o(^mkl) biK;bjLbkM - 0biik,
Для простоты мы здесь предположили, что производные omdEKLdUMN),
0(д2т\кдПмф, фдЪ/двдиш) (7.9.31)
приводят к появлению в уравнениях (7.9.26) - (7.9.29) пренебрежимо малых
слагаемых по сравнению с другими слагаемыми.
Ясно, что первые семь величин, определенные соотношениями (7.9.30), можно
назвать тензором модуля упругости, тензором, обратным тензору
электрической восприимчивости, тензором модулей сегнетоэлектрического
взаимодействия, тензором термоупругости, вектором пироэлектричества и
тензором коэффициентом вязкости. Симметричный тензор фц - это тензор
времен диэлектрической релаксации. Тензоры oCt-uu, Фуи, о§а не имеют
названий. Последнему в силу его антисимметрии можно единственным образом
поставить в соответствие аксиальное векторное поле о^г так, что
$i = V2ei/fe o^/fe. o^/fe = e/fep o^V (7.9.32)
Отметим, что все "материальные" тензоры, определенные соотношениями
(7.9.30), вычисляются в сегнетоэлектрическом состоянии в отсчетной
конфигурации Ж(, в которой были заданы начальные поля (7.9.10), а не в
отсчетной конфигурации Ж р. Согласно (7.9.8), все они зависят от
начального состояния электрической поляризации 0Р- Чтобы явно
охарактеризовать влияние этого начального состояния, нужно
конкретизировать тип симметрии материала (см. ниже п. D).
Линеаризуем аналогичным образом уравнения Максвелла (7.3.57), чтобы не
повторяться, опустим эту процедуру; тогда
§ 7.9. Линеаризованные уравнения для сегнетозлектрич. кристаллов 487
получим уравнения Максвелла в движущемся диэлектрике для возмущений
относительно сегнетоэлектрического состояния:
VXe + |b = 0, V • b = О,
V X b -¦ i- (е + орр) = - 1 (0Р • V) и, (7.9.33)
V-(e + oPP) = V-[(0P • V)u].
Наконец, линеаризация уравнения распространения тепла (7.3.82) приводит к
уравнению
ОС0 - [Д,-Д ц = - о(r) (оvij + оai оРD й-i, / + оР о(r) оа • Р +
+ [о0;jki {(flijk оbijkl 0Pt "Ь o&ik oPi oPi] й-i, jiik' i -)-
+ oP2o^ijPiPj + oP {,aijk ~ obijk ~ 2o^ifcoP/) "i. jPk + oP^'> (7-9-34)
здесь h - объемный источник тепла в расчете на единицу массы,
соответствующий возмущению; мы также ввели обозначения
qC - - 0(r) o(d22/<502), oKij = o{KkL) biKbjL = oK/i
и учли тот факт, что все величины в начальном состоянии пространственно
однородны; производными (7.9.31) пренебрега-лось. И здесь величины 0С и
0Kij являются функциями начального состояния (0Р, о0). Уравнение (7.9.34)
можно упростить еще больше, если принять во внимание, что \щ,]\ и |р|,
как правило, считаются бесконечно малыми первого порядка. Пренебрегая в
