Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(7.9.34) произведениями любых двух из них, окончательно найдем
ОС0 - оКц(r), к ~ - о(r) (ov<7 "Ь оai оР/) / -f- оР о0 оа • Р + оРh.
(7.9.35)
Подводя итог, напомним, что уравнения (7.9.24), (7.9.25) и (7.9.33),
(7.9.35)-это уравнения для объема тела, описывающие зависящие от времени
термоэлектромагнитомеханические возмущения- (7.9.21) относительно
начального сегнетоэлектрического состояния в конфигурации Жг для тела с
любым типом симметрии материала.
С. Линеаризация условий на поверхностях
Найдем теперь линеаризованную форму граничных условий, которые должны
замкнуть систему уравнений (7.9.24),
(7.9.25) и (7.9.33), но ограничимся случаем, когда имеются только
изотермические возмущения (7.9.27), т. е. 0 = 0, остальные диссипативные
процессы не учитываются; ограничимся также рамками квазиэлектростатики. В
этом случае нам нужно
488 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
линеаризовать уравнения (7.3.53), (7.3.56) и (7.3.58) с начальными и
граничными условиями (7.9.14)-(7.9.16). Пусть 0п - единичная внешняя
нормаль к <30В в Ж и Вариация 6 хЩ уже найдена в § 2.15. Тогда 6*-
вариации уравнений (7.3.53), (7.3.56) и (7.3.58) находятся путем прямых,
хотя и довольно длинных преобразований, они приводят к следующим
линеаризованным граничным условиям на д о В:
- возмущения приложенного к поверхности напряжения и плотности
поверхностного заряда.
Уравнения, выведенные в п. В и С, образуют всю систему уравнений,
необходимую для исследования задачи о распространении поверхностных волн
в рамках квазиэлектростатики и для определения полного динамического
решения в объеме. Эти уравнения были получены в работах [Maugin, Pouget,
1980; Pouget, Maugin, 1981а].
D. Уравнения для "изотропного" тела; нарушение симметрии
Очевидно, из полученных выше общих уравнений можно сделать полезные
выводы только тогда, когда учитывается конкретный тип симметрии
материала. Как отмечалось в гл. 2, тип симметрии нелинейного материала
определяется по отношению к идеальной конфигурации Жr, которая в данном
случае соответствует в некотором роде фундаментальному пароэлектрическому
состоянию. Для примера (а также для простоты и по техническим
соображениям) предположим, что в этом состоянии, менее упорядоченном, чем
в фазе ферромагнетика, рассматриваемый материал является изотропным по
отношению к Жr. В этом случае показывается, что материал имеет изотропные
обратимые термодинамические свойства по отношению к Js тогда и только
тогда, когда 2 сводится к функции 0 и тридцати шести абсолютных скалярных
инвариантов, построенных из исходных векторов и тензорных аргументов
(7.9.36)
(7.9.37)
(7.9.38)
(7.9.39)
§ 7.9. Линеаризованные уравнения для сегнетозлектрич. кристаллов 489
множества 9?r, т. е.
2 = 2(0, /в; <х=1, 2, ..., 36). (7.9.40)
Мы приведем здесь только те инварианты /а, которые в дальнейшем будут
существенны:
l2 - EKLELK, /4 = ПкПк,
/5 = П^, 7б==П(х1.)П(^/.), I& - П[дцП[ды,
/ is = П/с-ЕдьШ., /14 == HkEjoJElmRm, /15 = П/сП(/сцЩ, (7.9.41)
/16 = ПдП(км)П(М?)Пь /23 = П/сП[/с.м]П[мг,]Пг"
/32 = П(^м)Пл1П[кг]Щ.
Прямое вычисление начальных полевых величин (7.9.10) и тензорных
коэффициентов, определенных первыми шестью
уравнениями (7.9.30), дает
o'F, = о ("S/а/,) б" + о(^/13) 0Р{ 0pi = *tit, oEi = -20(dt/dIli) 0Рг,
(7.9.42)
= 0(а2/а/5) 6г/ + о(d$/dll6) QP{ 0Pi = о^/р сА/Р(7 = о (W/?) Vp, +
о(^/а/2) (6|р6" + б/рб,9) +
+ "(а^/а/, a/13)-(6iy 0рр 0Рр + бр, 0рг оР/) +
+ у o(as/a/4) (qPi оРрб/р + бгр 0Р; 0Рр + б/р 0Р< оР, +
+ 6<у сЛ- о^р) + о(а2^/а/?з) 0Рг л о^р <Д' оег;й - 2 о(а22/а/4 (3/[) бг/
0Pfe + о(а2/а/13) (бife 0Р/ + 6W 0Рг) +
+ 20(а2Б/а/4а/13)оРгоР/оРь 0хг-/ = 2 0 (а5/а/4) 6.. + 4 0(а22/а/2) 0рг
0р,, (7-9-43)
"А,*, = 0(a2s7a/l) v" + 0(^/а/6) (в"б/к + v,,) +
+ 0(а22/а/5 д1 [б) (бi/qPi оPfe + бik оРг оР/) ~Ь 7г о{дЪ/д113) X
X (6/ь оР< оРг + бг/ 0Ру 0Pfe -|- 6/г 0Рг oPft + бгь оР/ оРг) +
+ о (а22/а/26) 0рг 0ру 0рг + 0 (as/a/8) (v/fc - бгйб/г) + + у 0(as/a/32)
(бгг 0р; Qpk - 6/fe 0Pt оРг) + 72о(а2/а/23) х X (б// oPi ОPfe 6;fe 0рг
0РI - 6г* 0Р/ oPfe 6j-fe 0Рj 0Р1), oVf/ - [0(a22/ao a/i) бгу -j- o(a2s/a0
a/j3) qPqP/ - ov/o ofl< = - o(a2s/a0 a/4) 0р*.
490 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
Скалярные коэффициенты, появившиеся в этих уравнениях, являются функциями
только от об и 0/ = оР2 - единственного ненулевого инварианта в списке
(7.9.41). Легко показать, что все тензорные величины, определенные
уравнениями (7.9.42) и (7.9.43), имеют, кроме очевидных свойств тензорной
симметрии, осевую симметрию по отношению к направлению вектора 0Р.
Другими словами, они форминвариантны по отношению к непрерывной группе
поворотов R4, (0Р) на угол 0 < ф < 2я в плоскости яр, ортогональной оР-
Мы здесь, таким образом, наблюдаем явление наведения анизотропии
начальным полем 0Р-Это поле нарушило исходную симметрию (изотропную в
фазе параэлектрика) и создало осевую симметрию в фазе сегнетоэлектрика. В
линеаризованной теории все возмущения относительно состояния 0S таковы,
