Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
§ 7.6. Емкость тонких диэлектрических пленок
473
ческой, так и материальной симметрии. Положим X\ - xyi и = щ = щ (х),
"2 = Щ = 0 )
Р = Р1 = Р1(х), Р2 = /5з = 0 | = S(x). (7.6.10)
Ф = ф (*)• >
При нулевых внешних полях из уравнений (7.4.76) получаем
хх ~Ь Рt хх = 0, d\\U-t хх ~Ь b\\P, хх йР ф> х = 0, (7.6.11)
ф ,хх - Р,х = 0.
На свободных поверхностях х = ±d, не имеющих напряжений, имеем следующие
граничные условия, соответствующие
(7.4.77) ll8:
txx = (cuUx + dnP,x) = о, (7.6.12)
Ф = ±U, x = ±d. (7.6.13)
Здесь U - наложенный потенциал. Также нужно добавить граничное условие,
соответствующее (7.4.77)2. Это граничное условие в более общей форме (см.
(7.3.4)) записывается в виде
р0-'п • iE = Jts, (7.6.14)
где Jts - поверхностная плотность электрических диполей. Это условие
можно заменить другим, если известно выражение для поверхностной
поляризации. Последнее зависит от физических свойств прилежащего
электрода и поверхности раздела металл- диэлектрик, предмет, лежащий за
рамками теории диэлектриков. Можно получить подходящее граничное условие,
если заметить, что поляризация в металле равна нулю, и считать, что
поверхностная поляризация диэлектрика равна некоторому промежуточному
значению между нулем и величиной:
(7.6.8), рассчитанной из классической теории диэлектрика. Поэтому мы
положим в феноменологической теории [Mindlin, 1969]:
Р- - k%U/d, x = ±d, (7.6.15)
где Os^&s^l; классическое решение соответствует k = 1, а случай k = 0
означает непрерывность поляризации при переходе через поверхность
раздела.
Уравнения (7.6.11) нужно решить с учетом граничных условий (7.6.12),
(7.6.13) и (7.6.15). Легко найти, что решение в форме (7.6.10) имеет вид
и = Bj ch (х/Х), Р = А2 + В2 ch (х/Х), ф = А3х + В3 sh (х/Х), (7.6.16)
где X - материальная постоянная с размерностью длины, значение которой
определяется из уравнений. Подставив выражения
474 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрика и керамики
<7.6.16) в полевые уравнения (7.6.11), найдем, что А2 - %А3, В2 = В3'К =
СцВ^/du,
(7.6.17)
'2 см(1+Х-1)'
Граничное условие (7.6.12) выполняется автоматически, а из условий
(7.6.13) и (7.6.15) имеем
остальные постоянные определяются через А3 и В3 при по-зиощи соотношений
(7.6.17) 1,2. В результате емкость тонкой диэлектрической пленки равна
- поправка к классической теории (р=1). При & = 0.1 и ЭС=10 с учетом
расчетов для малых k по данным Мида [Mead, 1962] находим, что К имеет
порядок нескольких ангстремов. График, зависимости (7.6.21) представлен
на рис. 7.6.1. Так как экспериментальные данные Мида не продолжены в
область толщин, меньших 2d = ЗОА, то они вполне надежны справа от изгиба
кривой на рис. 7.6.1 и выглядят поэтому как график линейного соотношения.
Поляризация и электрический потенциал, соответствующие решению (7.6.21),
имеют следующее поведение. Абсолютная величина поляризации практически
однородна в основной части •объема слоя со значением, лишь немного
меньшим однородного значения из классической теории. Однако около
поверхностей раздела величина поляризации резко спадает к граничным
значениям (7.6.15). Электрический потенциал ф также имеет почти
однородный градиент в объеме слоя, его величина меньше величины
однородного градиента из классической теории, однако непосредственно
около поверхностей величина градиента резко возрастает (рис. 7.6.2). Мы
имеем, таким образом, электрический пограничный слой. Миндлин [Mindlin,
1969] показал, что равновесное решение уравнений для моноатомных решеток
А2 + В2 ch (dJX) = - kfJJjd, A3d -|- B3 sh (d/K) = U.
(7.6.18)
(7.6.19)
Окончательно, из (7.6.17) - (7.6.19) следует, что
A3 = (W)ch(rfA) + (^/rf), в3 = (1 - ft) X [X sh (dll) + (d/K) ch (d/K)r
(7.6.20)
С - Соц(&, %, d), где С о определяется по формуле (7.6.9), а
(7.6.21)
H(k, К, d) =
(7.6.22)
§ 7.6. Емкость тонких диэлектрических пленок
475
имеет практически такой же вид. Точнее говоря, решение (7.6.21)
получается заменой X на V, последняя величина свя-
Рис. 7.6.1. Емкостная аномалия (• эксперименты Мида).
Рис. 7.6.2. Зависимость безразмерной обратной емкости от безразмерной
толщины [Mindlin, 1969].
зана с X соотношением
sh(a/2X) = a/2X, (7.6.23)
где а - постоянная решетки. Если X а, то из последнего уравнения следует,
что X и X отличаются на очень малую величину;
476 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
в результате феноменологическое решение (7.6.21) оказывается хорошим
(длинноволновым) приближением решения уравнений решетки.
§ 7.7. Акустическая активность ионных кристаллов
А. Уравнения эластооптики
Так как оптические явления по своей природе динамические, то мы должны
использовать вместо электростатической системы уравнений (7.4.76) полную
нестационарную систему уравнений Максвелла
VXE + -i-4r = 0> ?-В = 0,
.а ¦ - (7'7Л)
VXB-|-|-(E + P) = 0, V ¦ Е = -V ¦ Р.
Исключив В из системы (7.7.1), имеем чисто "электрическое" уравнение
V2E-V(V-E) = c"2(E+P). (7.7.2)
Рассмотрим кристаллы, не имеющие центральной симметрии, будем
