Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
квантовомеханического происхождения, моментные напряжения, обусловленные
обменными силами Гейзенберга, также квантовомеханической природы и
объемный момент сил - обычный пондеромоторный момент сил в намагниченном
теле с непараллельными векторами намагниченности и магнитного поля.
§ 6.4. Определяющие уравнения для упругих материалов 351
-§ 6.4. Определяющие уравнения для упругих непроводящих материалов
А. Нелинейные определяющие уравнения
На практике многие ферромагнитные материалы (например, иттрий-железные
гранаты) можно считать непроводящими. Поэтому мы рассмотрим случай
термоупругих непроводящих ферромагнетиков, когда
/ = 0, q = 0, (6.4.1)
и нет никаких других диссипативных процессов (как, например, вязкости).
Тогда в уравнениях полностью исчезают электрические поля, а неравенство
(6.2.57) переходит в следующее равенство:
- р (ф + Ф) + tr (tsDr) - рВ* • m + tr (3§TtT) = 0. (6.4.2)
Для упрощения формы записи этого равенства функция ф
¦обозначалась через ф.
Для упругого материала логично рассмотреть следующую ¦функциональную
зависимость для ф:
ф = ф(Р, ц, Удц, 0); (6.4.3)
здесь все аргументы и функции считаются определенными на множестве пар
(X, t). Действуя так же, как и в § 2.10, легко показать, что ф -
объективная скалярная функция тогда и только тогда, когда функция ф из
всех возможных форм имеет следующую частную форму:
Ф = Ф(Е, m, М, 0); (6.4.4)
здесь мы ввели лагранжев тензор деформации Е и материаль-
ные полевые величины Ши М, полученные переносом (2.3.42) в отсчетную
конфигурацию:
m = fi-F, M = VBp,-F. (6.4.5)
Вычислим различные полезные для дальнейшего скорости изменения во времени
величин при помощи соотношений *(2.3.12), (6.2.40), (6.2.54) и (6.2.56).
В результате имеем
&KL = xi, К XU lDij,
mK = (th{ + Dull}) xtt K, (6.4.6)
М/п. = (2W-tk + DiiHjt *) Xiг LXht к.
Вычислив ф с учетом этих выражений и подставив, полученное выражение в
основополагающее уравнение (6.4.2),
352
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
предполагаемое справедливым для любых объективных скоростей изменения 0,
Dtj, thi и Шц, найдем нелинейные определяющие уравнения термоупругого
непроводящего ферромагнетика
Определим симметричный "упругий" тензор напряжений tE соотношением (ср. с
выражением (2.11.9))
Тогда при помощи уравнений (6.4.7) - (6.4.9), (6.4.11) и (6.2.58) легко
получить
Последнее соотношение представляет собой определяющее соотношение для
тензора напряжений Коши, если учесть выражения (6.4.11), (6.4.8) и
(6.4.9). Нужно отметить, что тензор t? отвечает не только за чисто
"упругие" эффекты, но в силу функциональной зависимости (6.4.4) и за
другие родственные эффекты, такие, как магнитострикция, пьезомагнетизм,
обмен-нострикционные и термоупругие эффекты. Более же полная формула
(6.4.13), кроме того, учитывает влияние на напряжения поля локальной
магнитной индукции и обменных сил. Это влияние описывается, вообще
говоря, нелинейными слагаемыми по д и Vp. Представление тензора
напряжений Кощи в виде разложения (6.4.13), в частности, показывает, что
в отличие от исходного (но более общего) представления (6.2.58) спин-
решеточные взаимодействия учитываются в тензоре напряжений Коши не только
через антисимметричную комбинацию, фигурирующую в (6.2.58), но также и
через соответствующую симметричную комбинацию.
В. Следствия намагниченности до насыщения
tf = pF-|g-F7 (6.4.9)
(6.4.9)
(6.4.10)
t? = pF-||-Fr = (t?)r.
(6.4.11)
tfi tfl РЩРр "1" k'
(6.4.12)
(6.4.13)
Проведенный вывод не совсем корректен для случая тел, намагниченных до
насыщения, так как при записи выражения
(6.4.4) не учитывалось условие (6.2.6), связывающее д и Удд;
§ 6.4. Определяющие уравнения для упругих материалов 353
то же относится и к условию (6.2.2). Эти условия (6.2.2) и
(6.2.6) можно записать через лагранжевы переменные, входя-
щие в выражение (6.4.4), в виде
m • m = р| = const, (6.4.14)
М • in = 0, (6.4.15)
если учесть определение
m = F1 • р = С'т, (6.4.16)
где С"1 - тензор деформаций Пиолы (2.2.28).
Один способ учета условий (6.4.14) и (6.4.15) состоит в введении
множителей Лагранжа & и 9>~{SPK-, /(=1, 2, 3} и использовании вместо
функции ф плотности эффективной свободной энергии:
феН = Ф(Е, m, М, 0) - ^ (т • т - р!) - ^ • Мт. (6.4.17) Однако если
заметить, что последнее условие (6.4.15), приво-
дящее к введению векторного множителя в проекции на оси координат
образует систему из трех уравнений, а также то, что тензор М и
симметричный тензор (в Жя)
м = (Vдц) • (V^р)7" = МС-'М7, = мг (6.4.18)
имеют соответственно девять и шесть независимых компонент, то можно
сделать обходной маневр: заменить М в функции ф
на М и отбросить множители Лагранжа Тогда
феК = ф (Е, ш, М, 6) - & (ш • m - р|). (6.4.19)
Преобразования намного легче проводить именно с этой эффективной
свободной энергией. Действительно, имеем
-Я^=2-Я^'Ц'''1 (6.4.20)
Зф Зф , (Эф (ЭМpq dCMlN
(6.4.21)
&Ekl ' (ЭМpq dCMlN дЕк1 второе соотношение преобразовывается к виду
Х1, **/, L = -Щ*- xi, K*t, L - 2 -gj^- I*(I. мР/). N (6.4.22)
