Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
уравнения.
Уравнение неразрывности
p + pV-v = 0 в Bj -ст, (6.2.31)
п • [p(v -v)] = 0 на a(t). (6.2.32)
Балансное уравнение для импульса континуума решетки
pv = div t + f + fem в В, - ст, (6.2.33)
n- [p(v -v)(r)v -t -(tem + v(r) G)]=0 на ст(0 (6.2.34)
совместно с уравнением
t("j - n • t на dBt - о.
Балансное уравнение для момента импульса континуума
решетки
e</*(*/ft + PBf"4*) = 0 в Bt~a• (6.2.35)
Проведя свертку этого уравнения по свободному индексу с
символом альтернирования и учитывая уравнение (2.2.14), преобразуем
уравнение (6.2.35) к виду
tm==9HBn==Jt\.iBn в Bt~a• (6.2.36)
При помощи рассмотрения уравнения (6.2.19) для тетраэдра можно показать,
что существует общий тензор второго порядка, обозначаемый через 3S (не
следует путать с магнитной индукцией в собственной системе отсчета;
последняя величина больше не встретится), так что выполняется следующее
равенство;
Ц X (р&~(я) - п • $) = 0 на dBt - о. (6.2.37)
§ 6.2. Нелинейная феноменологическая модель
343
Тензор !%, аксиальный по своему второму индексу, играет роль, аналогичную
роли тензора напряжений, но только в спиновом континууме. Так как
считается, что вектор &~(П) феноменологически выражает действие обменных
сил, то мы будем называть-величину $ величиной, отвечающей за спин-
спиновое взаимодействие, или тензором обменной силы.
Локализация уравнения (6.2.19) с учетом (6.2.37) непосредственно приводит
к следующим локальным уравнениям.
Балансное уравнение для момента импульса спинового-континуума
Y-1Ai - I.u X (В + BL -f p_I div@)\i + i в Bt - o,
(6.2.38)-
а также
[py-1 {n • (v - v)p} -- у, X (n • &)] = 0 на o(t). (6.2.39)
Заметим, что в рамках принятой здесь формулировки величина р должна иметь
вид (6.2.7). Сравнивая это уравнение с уравнением (6.2.38), заключаем,
что
р = <" X Д в Bt - o, (6.2.40)
где
<а = - YBeff; (6.2.41)
здесь эффективная магнитная индукция ВеИ определена соотношением
Ве"з= В -f BL -f p-i div Я\ (6.2.42)
должно также выполняться следующее условие:
в*/*#Ы*/,/ = 0 или $/[Aji/u = 0. (6.2.43)
Последнее соотношение является прямым следствием условия малости
температур 0 <С 0С и условия намагниченности материала до насыщения.
Очевидно, что уравнение (6.2.41) есть обобщение ларморовского выражения,
приведенного в § 1.6. Кроме того, уравнения (6.2.40) и (6.2.41) являются
обобщением на случай деформируемых тел и произвольных термодинамических
процессов уравнения (1.7.2), полученного для абсолютно твердых
недиссипативных ферромагнетиков.
Балансное уравнение для энергии. С учетом уже полученных уравнений и того
факта, что = -q-n, а также определения плотности новой внутренней энергии
ё по формуле
ё = е-\- р • В
(6.2.44)
344 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
локализация уравнения (6.2.20) дает соотношение
Ы = tr (tLr) + рВ • ц + f • & + tr \Л (V|i)r] +
+ (div Щ • ц - V • q + ph в области Bt - a (6.2.45) и соотношение
* • [{'/2pv2 + Рё + У* (Е2 + В2 - 2рц • В)} (v - V) -
-(t + tem + v(r) G) • v -?-ji + q + ^]=0 на в (t). (6.2.46)
Уравнение (6.2.45) можно преобразовать следующим образом. С учетом
соотношений (6.2.9), (6.2.41) и (6.2.42) можно записать
(div &) • ц = - рВ • ц - pBL • ц. (6.2.47)
Подставив это выражение в уравнение (6.2.45), получим
рё = tr (tL7) - pBL • ц + tr [3& (Vp,)7"] + / • ^ - V • q + ph. (6.2.48)
Локальное энтропийное неравенство. Локализация неравенства (6.2.21) дает
__
pfi>e_1p/i-6_1V-q-q.v(-g-) в (6.2.49)
n- [pri(v -v) + 0~'q] >0 на a(t). (6.2.50)
Наконец, условия на скачках, соответствующие уравнениям (6.2.30), имеют
вид
п * [В] = о, пХ[Н] = \Ж, (6.2.51)
¦>
где Ж - плотность поверхностного тока на а (t).
Таким образом, мы записали полную систему полевых уравнений, условий на
скачках и термодинамических ограничений данной теории. Для решения
конкретных задач их нужно дополнить начальными и граничными условиями, а
также определяющими уравнениями для зависимых переменных ё, л, t.
BL, I, / и q. Для разработки теории определяющих уравнений
основополагающую роль играют неравенство Клаузиуса - .Дюгема и остаточное
диссипативное неравенство. Нужно отметить, что полученные здесь уравнения
не зависят от конкретных механических свойств материала, который может
быть упругим телом, жидкостью или средой с промежуточными свойствами.
Однако рамки этой книги ограничены исследованием упругих тел и тесно
связанных с ними диссипативных явлений.
§ 6.2. Нелинейная феноменологическая модель 34&
' Е. Неравенство Клаузиуса - Дюгема
Введя функцию свободной энергии ф соотношением
ф = ё - цб (6.2.52)
и исключив h из уравнений (6.2.48) и 6.2.49), приходим к следующей форме
неравенства Клаузиуса - Дюгема:
- Р (Ф + Лб) + tr (tLr) - рВ* • ц + tr \Л (Vpf] +
+ /.#-6_1 q-V0>O. (6.2.53)
Наша задача - переформулировать левую часть этого неравенства через
объективные скорости изменения во времени-. Для этого отметив, что ц -
объективная величина (§ 3.2), введем объективные скорости изменения во
времени
m = Djy, т. е. mi = - v{l (6.2.54)
