Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
непосредственно к ферромагнетикам, для которых справедливы уравнения
(6.2.1) - (6.2.9). В этом выводе для непроводящих материалов при
низких температурах и при отсутствии внутри тела поверхности разрыва
будем следовать работе [Maugin, 1974]. Для обобщенного движения среды,
описываемой уравнениями
348 Гл. 6. Упругие ферромагнетики I
(2.2.1) и (6.2.5), вместо виртуального поля у* из соотношений 1
(2.6.7) введем 1
v' = {vh д*. г=1, 2, 3|д* = ю*Хр}, (6.3.1)
или
v={v\, ю*; г = 1, 2, 3}, (6.3.2) )
где д* имеет размерность скорости изменения во времени намагниченности
единицы массы среды, а со* - скорость вра- \ тцения. Тогда виртуальная
работа ускоряющих величин запи- j ¦сывается в виде непрерывного линейного
функционала I
Кг (r);}-*r. <6-3-3) ;
~г. е. (ср. с определением (2.6.2))
{Bv О ~ 5 (V ' v* + Y"'f* • "О dm, (6.3.4)
Bt
¦так как у-1!* - инерционный момент сил Д'Аламбера, связанный с
гиромагнитным эффектом (д - истинная скорость изменения д). Аналогично
двум последним уравнениям
(2.6.7), но для расширенного поля виртуальных скоростей люжно записать
y*-"-R, &\су °*-*R. (6-3.5)
где
F(V) (Bt, у*) = \ {(f + fem) • v* + РВ • Д*} dv, (6.3.6)
Bt
Р\с) (дBt, у*) = \ {(t(n) + t(^J) • v* + р^"м • д*} dor, (6.3.7)
9Bt
-У
здесь, как видно из анализа размерности, ?7"(П) и В - поверхностная и
объемная плотности магнитного дипольного момента. Так как в выражение
(6.3.6) входят только "внешние" силы, то В может быть только,
максвелловской магнитной индукцией;
величина ?Г(") - заданная переменная в такой же степени, как ; и t(ra);
выражения для fem и tem были даны выше. Что касается виртуальной работы
внутренних сил, то в нее должны входить ]Д и его градиент Уд*, так как
необходимо учесть взаимодействие соседних спинов в ферромагнетиках. Так
как внутренние силы должны быть объективными, то пространство виртуальных
скоростей, на котором определена непрерывная линейная .форма, должно
состоять из линейных комбинаций объектив-мых (и линейно независимых)
полей. Из простейшего мно-
§ 6ф. Принцип виртуальной работы 349
жества
К. /> Н /} (6-3.8)
*€
можно извлечь подмножество [Maugin, 1974]
Гоы = {D'i, = D]it Djii* = m\ ШЬI i, j = 1, 2, 3}, (6.3.9)
удовлетворяющее требуемым условиям; при этом
^/='/.к/+°м). (ед;=^-а>г (6310)
%=*/2 ^/=("),/-о;#,./-
Бведя теперь дуальные величины ог/ = ст/г, -рВй, и за-
лтисав
Р'аг Кы-+*> (6-З.П)
имеем
(s<- nbi) = - i (<*,Л - р^л; + $"#;,) do. (6.3.12)
Остается только применить общий принцип (2.6.1) для любого виртуального
поля (6.3.1) в любой точке Bt и dBt; в результате немедленно получаем
уравнения (6.2.33), (6.2.40) и
(6.2.37) с соотношением
*/t = ст/г ~ 1/1*4, *, (6.3.13)
Таким образом,
*1/4 = " Р^>4 + Л*Ц"*4. (6'ЗЛ4)
этот результат согласуется с соотношением (6.2.36) при условии равенства
нулю последнего слагаемого в (6.3.14). Последнее есть не что иное,
как следствие намагниченности среды до
насыщения. Поэтому уравнение (6.3.13) приводится, к уравне-
нию (6.2.58), и обе формулировки полностью эквивалентны.
Если продолжать развивать связанные с принципом виртуальной работы
(2.6.1) идеи, то в записи для реальных скоростей (без звездочек), когда
гиромагнитное слагаемое в
(6.3.4) исчезает в силу (6.2.9), его надо объединить с первым законом
термодинамики (6.2.20). Непосредственно из формы выражения (6.3.12)
следует уравнение энергии в виде
рё = tr (<xDr) - рВ? • m + tr (39ЖТ) - V • q + РК (6.3.15)
где ст = ts и то же неравенство Клаузиуса - Дюгема (6.2.57)
ири f- 0.
350
Гл. 6. Упругие ферромагнеящи
По поводу данной формулировки принципа виртуальной работы нужно сделать
следующие замечания.' Во-первых, при пренебрежении гиромагнитными и
обменными- ,|ффектами - это случай так называемых мягких ферромагнетиков,
не .имеющих гистерезиса, - уравнение (6.2.42) сводится к уравнению
В + В? = 0, (6.3.16)
которое есть не что иное, как равновесное соотношение, введенное в § 3.9.
Кроме того, мы могли бы непосредственно из принципа виртуальной работы
получить уравнения для определенных механических структур, например
пластин и оболочек, задав поле скоростей v* в (6.3.1) определенного вида,
так как кинематика таких структур специфична из-за их тонкости. Пример
такого вывода будет дан ниже в § 6.14. Наконец, построенная модель
является примером модели, в которой наполняется физическим смыслом общее
уравнение для момента импульса (3.1.6) и соответствующее граничное
условие (3.1.7). Действительно, полагая
S/? = P^Wft, C?? = BltJ[,ь
(6.3.17)
m*// [il*/]' m(n) i - X •?){
и проведя свертку уравнения (6.2.40) с символом альтернирования с учетом
уравнений (6.2.42), (6.3.14) и (2.2.14), получаем (Maugin, 1974; 1980]
pSlf - mi?iy k + Ctf + hm B (6 3 18)
nkmt " = "<""* Ha
где
"C = e^"Cr (6.3.19)
Уравнения (6.3.18) на самом деле есть уравнения (3.1.6) и
(3.1.7).
Таким образом, можно заключить, что деформируемые ферромагнетики - это
пример сред, в которых имеется внутренний момент импульса гиромагнитного
