Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
сторону всей истории. Чтобы увидеть полную картину, мы должны либо исследовать динамику геометрии, которая выявляется при варьировании выбора сечений, либо, как это обычно и делается, рассматривать геометрию пространства-времени в целом.
Ф*
X
Сферический коллапс с давлением качественно похож на коллапс без давления
§ 32.5. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ КОЛЛАПС В ПРИСУТСТВИИ ВНУТРЕННИХ СИЛ ДАВЛЕНИЯ
Если рассматривается только внешнее гравитационное поле, то коллапс сферически симметричной звезды с давлением отличается от свободного коллапса лишь тем, что поверхность звезды в этих двух процессах движется по разным мировым линиям во внешней геометрии Шварцшильда. Поскольку внешняя геометрия
§ 32.5. Сферически симметричный коллапс 59
2
в обоих случаях одна и та же, качественные аспекты свободного коллапса, описанные в последнем параграфе, могут быть без изменений перенесены на тот случай, когда внутренним давлением пренебрегать нельзя.
Важный вопрос состоит в следующем: может ли большое внутреннее давление каким-то образом помешать коллапсирующей звезде сжаться до бесконечной плотности, при которой возникают бесконечные приливные силы? Из диаграммы Крускала — Шекереса, показанной на фиг. 32.1, в, становится очевидным, что если звезда сжалась под свой гравитационный радиус (R < <2М), то никакое внутреннее давление, каким бы сильным оно ни было, не может воспрепятствовать сжатию поверхности звезды в сингулярность. Поверхность должна двигаться вдоль времени-подобной мировой линии, а все такие мировые линии внутри г = 2M попадают в г = 0. Хотя мы не располагаем в настоящее время соответствующей теоремой, мы можем высказать разумное предположение, что если поверхность сферической конфигурации сжата в сингулярность г = 0, то и вся внутренняя область звезды также должна быть сжата в эту сингулярность.
Динамика внутренней области сферически симметричной коллапсирующей звезды с давлением исследована менее детально, чем динамика внешней шварцшильдовской области. Однако в самое последнее время благодаря проведенным машинным расчетам и аналитическим исследованиям мы существенно продвинулись в изучении динамики внутренней области (см. обзор [19]). В ходе этих расчетов и исследований не было обнаружено каких-либо принципиально новых (или по крайней мере неожиданных) особенностей коллапса помимо тех, которые имели место уже в простейшем случае свободного коллапса с однородной плотностью, рассмотренном в последнем параграфе.
32.6. Сферически симметричный коллапс в общем случае: метрика в сопутствующих координатах
Рассмотрим неоднородную звезду с давлением, которая испытывает сферически симметричный коллапс. Одной сферической симметрии достаточно, чтобы обеспечить существование шварцшильдовской системы координат (t, г, 0, ф) как во внешней, так и во внутренней областях звезды [см. уравнение (32.2) и предыдущее обсуждение]. Припишем каждой сферической оболочке в звезде некоторое значение параметра а, указывающее, сколько барионов содержится внутри этой оболочки. Тогда г (a, t) есть мировая линия оболочки с меткой а. Выражение для этих мировых линий можно обратить, чтобы получить a (t, г), т. е. число барионов внутри радиуса г в момент времени t. Покажите, что существует новая временная координата t (t, г), такая, что линейный элемент (32.2), переписанный в координатах (t, а, 0, ф), имеет
УПРАЖНЕНИЯ
2
60 32. Гравитационный коллапс
УПРАЖНЕНИЯ
следующий вид:
_ г(дг/да)~ da2
JS2= _е2Ф -----_1—I 4-radQ2, (32.19a)
ф = ф(?, a), r = r(t,a), Г = Г(і, a). (32.196)
Это «сопутствующие синхронизированные координаты» для внутренней области звезды.
32.7. Адиабатический сферически симметричный коллапс: уравнения эволюции [60]
Внутреннюю область коллапсирующей звезды будем описывать метрикой (32.19) в сопутствующих синхронизированных координатах, плотностью числа барионов п, полной плотностью массы-энергии р и давлением р. Поскольку вещество покоится относительно выбранной системы координат, 4-скорость газообразного вещества звезды
и = е~фд/ді. (32.20)
Производную по собственному времени в сопутствующей веществу системе отсчета обозначим точкой сверху, например
п S= U \п\ = е~ф (OnIdt)a,
а частную производную по числу барионов обозначим штрихом, например
n' == (OnIda)-J.
Обозначим через U скорость изменения величины (1/2л) X (длина окружности оболочки), измеряемой человеком, который движется вместе с данной оболочкой:
U = г; (32.21а)
обозначим через т (t, а) «полную массу-энергию», заключенную внутри оболочки с меткой а в момент времени t:
а
т (t, a) = j 4яг2р (t, a) r' da (32.216)
о
(см. дополнение 23.1, где приведено обсуждение такого способа локализации массы-энергии). Допустим, что коллапс является адиабатическим (отсутствует поток энергии между соседними
оболочками; тензор энергии-импульса полностью совпадает с тензором энергии-импульса идеальной жидкости).
а. Покажите, что уравнения коллапса [закон сохранения числа барионов (22.3), локальный закон сохранения энергии
