Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Js2 = а2 (т|) [—dr]2 + sin2x0 + sIq2 0^<?2)] (32.18а)
независимо от того, определяется ли она в шварцшильдовской внешней области или же во фридмановской внутренней области,
б. Покажите, что внешняя кривизна мировой трубки поверхности имеет одни и те же компоненты
К^ц — Кцъ — Kr^ — ^эф = О,
Яее = Яфф/зіп2Є= — а (Tl) sin Xo cos Xo (32.186)
как в шварцшильдовской внешней, так и во фридмановской внутренней областях.]
32.5. Коллапсирующие из бесконечности звезды
а. Чтобы получить модель звезды, коллапсирующей из состояния покоя с бесконечным начальным радиусом, составьте из обрезанной геометрии Шварцшильда и из обрезанной фридмановской «плоской» (к = 0) геометрии единую геометрию. [Указание:
Мировая линия поверхности этой звезды в шварцшильдовской геометрии дается уравнениями (31.2).]
б. Аналогичным образом составьте из обрезанной шварцшильдовской геометрии и обрезанной фридмановской «открытой»
(к = — 1) вселенной одну геометрию с тем, чтобы получить в результате модель звезды, коллапсирующей из бесконечности с не равной нулю начальной скоростью сжатия.
Дополнение 32.1. ИДЕАЛИЗИРОВАННАЯ КОЛЛАПСИРУЮЩАЯ ЗВЕЗДА С ФРИДМАНОВСКОЙ ВНУТРЕННЕЙ И ШВАРЦШИЛЬДОВСКОЙ ВНЕШНЕЙ ОБЛАСТЯМИ1) Начальное состояние
1. Возьмем фридмановскую вселенную радиуса а = ат в момент ее наибольшего расширения т) = 0 и отсечем и отбросим область Хо < X ^ где Хо — некоторый
х) Подтверждение приведенных здесь результатов см. в § 32.4 и в упражнениях 32.3 п 32.4.
2
56 32. Гравитационный коллапс
угол меньше л/2. 2. Возьмем шварцшильдовскую геометрию с массой M = = (ат/2) Sin3X0 в момент времени t = 0 и отсечем и отбросим область г < Ri = = ат sin х0. 3. Гладко склеим оставшиеся куски фридмановской и шварцшильдовской геометрий вдоль поверхностей отреза. Получившийся в результате объект будет представлять собой мгновенно статическую звезду с однородной плотностью Pi = 3/(8nail), массой M = (ат/2) sin3 Хо и радиусом Ri = ат sin Хо-
Последующая эволюция
Позволим этой звезде коллапсировать из начального состояния, подчиняясь эйнштейновским уравнениям поля. Внутренняя обрезанная фридмановская вселенная и внешняя обрезанная шварцшильдовская геометрия будут эволюционировать в точности так же, как если бы от них никогда ничего не отрезали и не составляли из них единую геометрию; в ходе этой эволюции гладкость сшивания внутренней и внешней областей не будет нарушаться!
Детальная картина коллапса
Рассмотрим детальную картину коллапса, используя последовательности диаграмм погружения (истории ABCD и AWXY) и используя фотоны, распространяющиеся по радиусам наружу (фотоны а, (3, у, 6, е). Для рассматриваемого здесь примера выбраны следующие значения параметров: Xo = 0,96 и RiIM = = 2/sin2 X0 = 3.
Внутренняя область (Фридмана)
0,96 - *0
§ 32.4. Коллапс звезды 57
2
История коллапса, исследованная с помощью
гиперповерхностей ABCD
1. Начальная конфигурация А —A' — А", построенная путем обрезания и сшивания в моменты времени Г] = t = 0.
2. Каждая последующая конфигурация в качестве своей внутренней области имеет сечение постоянного фридмановского времени Г].
3. Внутренняя область всегда остается сферической чашей с половинным углом %0, но с течением времени она сжимается от радиуса R = Ri = ат sin Xe до R = 0.
4. Все вещество звезды одновременно сжимается до бесконечной плотности в тот момент, когда R достигает нулевого значения, и на внешней шварцшильдовской «воронке» в этот момент образуется сингулярность типа излома.
5. С течением времени этот излом гивает принадлежащую воронке
стя-
об-
ласть г < 2M с такой быстротой, что даже распространяющийся наружу фотон б захватывается и уничтожается.
Чтобы эти диаграммы погружения стали двумерными, аналогичными показанным на фиг. 23.1, необходим» произвести вращение этих диаграмм вокруг вертикальной оси.
История, исследованная с помощью гиперповерхностей AWX Y
1. Начальная конфигурация А — А' — А", как и прежде, построена путем обрезания и сшивания при Tj=J = O.
2. Последующие гиперповерхности сильно отличаются от гиперповерхности Т] = const.
3. С течением времени прямо на внешней стороне поверхности звезды в геометрии пространства-времени развивается горловина.
4. Горловина стягивается все сильнее и сильнее и, наконец, разрывается, после чего звезда становится полностью изолированной от остальной вселенной, а во внешней геометрии, где до этого была звезда, остается сингулярность типа излома.
2
58
32. Гравитационный коллапс
5. Изолированная звезда в своей собственной малой изолированной вселенной продолжает сжиматься до тех пор, пока не достигнет бесконечной плотности;
в это время во внешней вселенной начинает развиваться другой перешеек и возникающий излом быстро захватывает фотон б.
Истории ABCD и Л WXY сильно отличаются друг от друга. Это обстоятельство подчеркивает «многопалость времени» в общей теории относительности. Гиперповерхность, на которой исследуется геометрия, может в какой-то одной области по выбору группы исследователей эволюционировать быстрее, чем в других областях. Таким образом, ответ на вопрос, сколлапсирует ли первой та или другая область звезды или же коллапс завершается одновременно по всей звезде, зависит как от геометрии пространства-времени, так и от выбора сечения. Следовательно, группа исследователей по своему усмотрению выбирает определенные сечения, и, значит, исследователи в этом смысле сами оказывают влияние на то. какие пространственноподобные сечения предстанут перед ними в ходе исследований. Однако контролировать или изменять геометрию пространства-времени, в которой они производят эти сечения, они не могут. Пока массы исследователей пренебрежимо малы и они выступают лишь в роли пробных объектов они не могут оказывать никакого влияния на пространство-время. Последнее полностью определяется выбором начальных условий коллапса. Короче говоря, пространство-время четырехмерно, а сечения всего лишь трехмерны (а на приведенных здесь рисунках они двумерны и одномерны). Любая последовательность у сечений позволяет увидеть лишь одну какую-то
