Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(22.11а), уравнения Эйлера (22.13) и эйнштейновские уравнения поля (упражнение 14.16)1 могут быть сведены к следующим восьми
§ 32.5. Сферически симметричный коллапс 61
уравнениям для восьми функций Ф, Г, г, п, р, р, U, т:
г = U (динамическое уравнение для г), (32.22а)
= —~~j“ (динамическое уравнение для и), (32.226)
всюду, за исключением фронта ударной волны, где адиабатичность нарушается (динамическое уравнение для р), (32.22в)
(динамическое уравнение для U), (32.22г)
(уравнение состояния), (32.22д)
поверхности звезды (уравне-
ние источника для Ф),
(32.22е)
га'= 4яг2рг', га = О при а = О (уравнение источника
для пг), (32.22ж)
Г = sign (r') (I 4- U2 — 2га/г)1/г (алгебраическое уравнение для Г). (32.22з)
б. Приведенные выше уравнения записаны в форме, удобной
для численных расчетов. (Численные решения и ударные волны
см. в работе [61].) При аналитических исследованиях часто полезно заменить (32.226) на
п = Г/ (4лrV), (32.226')
а (32.22г) — на
m = — Anr2pU. (32.22т')
Выведите эти уравнения.
в. Объясните, почему уравнения (32.22ж) и (32.22г') подтверждают сделанные в дополнении 23.1 замечания относительно локализации энергии.
32.8. Аналитические решения для коллапса без давления [62, 63]
Покажите, что общее решение уравнений (32.22) в случае равного нулю давления может быть получено следующим образом:
а. Из уравнения (32.22г') определите массу, заключенную внутри оболочки с меткой а, тп(а)\ при р = О величина тп(а) не будет зависеть от времени t.
P+ P и
и.
Г2 р’ m Anr3р
Р + Р г’
P = P (п, р)
Ф'=— р'/(р + р), Ф = 0 на
2
УПРАЖНЕНИЯ
2
62 32. Гравитационный коллапс
УПРАЖНЕНИЯ
б. Предположите, что пылевые частицы имеют массы [х, зависящие от радиуса, |л(а), так что
р = (хп. (32.23а)
в. Вычислите Г по формуле
T= т'/ц; (32.236)
Г не будет зависеть от t.
г. Чтобы получить последующее решение для изменения
г (t, а), определите начальное распределение длины окружности
2яг как функцию а и решите динамическое уравнение
(w)2------~~~~ = Г2 (а) — 1. (32.23в)
Заметим, что это уравнение по форме совпадает с соответствующим уравнением в ньютоновской теории.
д. Вычислите остальные интересующие нас величины из алгебраических уравнений
ds2= —di? + {r'daiT)2 + T2JQa, (32.23г)
p = |x?z = m'/(4nrV), (32.23д)
Ф = 0, U = Brldt. (32.23е)
[Замечание: Это решение допускает пересечение следующих друг за другом оболочек, в результате чего возникает поверхность бесконечной плотности (?•' ->-0, где т' ф 0). Это объясняется отсутствием давления, нарастание которого привело бы к прекращению процесса пересечения оболочек. Когда происходит такое пересечение, в системе координат возникает особенность (а больше не растет монотонно наружу), но пространство-время по-прежнему ведет себя хорошо. Поверхность бесконечной плотности
1) создает пренебрежимо малые приливные силы, действующие на близлежащие пылевые частицы, и 2) подобно поверхностным слоям (см. § 21.13), поверхность бесконечной плотности является идеализацией її конечное давление приводит к тому, что она размазывается до конечной плотности.)
32.9. Коллапс с однородной плотностью
Воспроизведите решение Фридмана — Шварцшильда для коллапса с однородной плотностью и равным нулю давлением, придавая величинам т(а) и |х(а), которые фигурируют в упражнении 32.8, подходящую для этого случая форму. Для этого допустите, что во внутренней области звезды пылевые частицы обладают не равными нулю массами покоя, [х = const Ф 0, а во внешней области их масса покоя Ji = 0 («воображаемые пылевые частицы в вакууме»). Сведите результирующую метрику (32.23г) к метрике Фридмана внутри звезды и к метрике Новикова для шварцшильдов-ской геометрии вне звезды [уравнение (31.12)].
§ 32.6. Судьба человека, падающего в сингулярность 63
2
§ 32.6. СУДЬБА ЧЕЛОВЕКА,
ПАДАЮЩЕГО В СИНГУЛЯРНОСТЬ г = О
Рассмотрим вопрос о том, что происходит с экспериментатором-астрофизиком, который стоит на поверхности свободно сжимающейся звезды, когда она коллапсирует к R = 0.
В ходе коллапса к R = 0 различные части тела астрофизика испытывают разные гравитационные силы. Его ноги, находящиеся на поверхности звезды, притягиваются к центру нарастающей до бесконечности гравитационной силой, в то время как его голова, находящаяся на большем расстоянии от центра, ускоряется вниз несколько меньшей силой. Разность этих двух ускорений (приливная сила) в ходе коллапса все более нарастает, становясь в конце концов бесконечной, когда R достигает нуля. Тело астрофизика не может выдержать такие огромные силы; оно испытывает беспредельно нарастающее растяжение между головой и ногами.
Ho это не все. Одновременно с этим растяжением в направлении голова — ноги гравитационное поле тянет астрофизика в такие области пространства-времени, где площадь сферы 4лг2 беспрестанно уменьшается. Чтобы осуществить это уменьшение площади, приливные гравитационные силы должны одновременно с растяжением в направлении голова — ноги сжимать астрофизика со всех сторон. Сжатие площади сферы является на самом деле более сильным эффектом, чем продольное растяжение; поэтому в пределе R -V 0 астрофизик будет сдавлен до нулевого объема и вытянут на неопределенную длину.
