Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = а2 (— dx2 + е2Х dz2 + dQ2 + sin2 Qdf2),
Я = А,(т, z), А,(т = 0, z) = 0, A,(t = 0,z) = 0.
(Система координат того же типа, что и система Новикова, см. § 31.4.) Покажите, что в ортогональной системе отсчета, связанной с таким выбором, сферическая симметрия требует, чтобы
E = (QeIa2)e-, B = (QJa2)Si, Q = (Qi + Qll)1'2;
после чего из эйнштейновских уравнений поля с необходимостью следует Q = а и ех = cos т, так что
ds2 = Q2 (—dx2 + Cos2Tdz2 + dQ2 + sin20d^2).
5. Это решение уравнений поля (иногда его называют «электромагнитной вселенной Бертотти [52] — Робинсона [53]»; оно исследовалось в системе координат, предложенной Линдквистом [54]) фактически является горловиной в решении Рейснера — Нордстрема для специального случая Q = М. Убедитесь в правильности этого утверждения, произведя следующее координатное преобразование в области, являющейся горловиной решения Рейснера—Нордстрема (уравнение (31.246) с Q=M и |r—Q |<? Q):
г — Q = Qe~z cos т, t = Qez tg т.
6. Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев получается одно из двух: либо вовсе нет решения, либо решением служит сегмент геометрии Рейснера — Нордстрема, что и требовалось доказать.] Примечание. В тексте при доказательстве теоремы Биркгофа не рассматривается случай (Vr)2 = 0. Чтобы устранить
I
УПРАЖНЕНИЕ
I
46 32, Гравитационный коллапс
УПРАЖНЕНИЕ
Анализ
гравитационного коллапса посредством изучения внешней по отношению к звезде геометрии Шварцшильда
Гравитационный радиус как точка, откуда нет возврата, и «сжатие»
Br = O
возникшую из-за этого неясность, достаточно заметить следующее: пункты 3 и 4, изложенные выше, приводят к выводу о том, что при () = 0 в случае (Vr)2 = 0 никаких решений не существует. Мы благодарны Г. Эллису, обратившему внимание на то, что в предварительном варианте этой книги был опущен случай (Vr)2 = 0.
§ 32.3. ВНЕШНЯЯ ГЕОМЕТРИЯ КОЛЛАПСИРУЮЩЕЙ ЗВЕЗДЫ
Рассмотрим мгновенно статическую звезду, которая в следующий момент времени начинает коллапсировать. Ее пространственная геометрия в начальный момент шварцпшльдовского координатного времени ^ = O делится на две части: вакуумная область вне звезды (r>i?> 2М), геометрия которой является шварцшильдовской (теорема Биркгофа!), и внутренняя область звезды, где геометрия совершенно другая. Ho какой бы ни была внутренняя геометрия, ее диаграмма погружения в момент времени ? = 0 качественно похожа на диаграмму, приведенную на фиг. 23.1 (доказательство и обсуждение этого утверждения см. в § 23.8). Отметим, что пространственная геометрия звезды получается путем отбрасывания нижней вселенной в полной геометрии Шварцшильда (фиг. 31.5, а) и замены ее гладким (т. е. без сингулярности) «шаром», который содержит в себе вещество звезды.
Аналогичным образом, чтобы в шварцшильдовской системе координат, в системе координат Крускала — Шекереса или в сжимающейся системе координат Эддингтона — Финкельштейна проследить за коллапсом звезды, начавшимся сразу после t = 0, мы можем отбросить ту часть координатной диаграммы, которая лежит внутри поверхности звезды, и оставить лишь внешнюю по отношению к звезде область, которая описывается геометрией Шварцшильда (фиг. 32.1). Вместо отброшенной внутренней шварцшильдовской области мы должны ввести некоторую другую систему координат, другой линейный элемент и другую координатную диаграмму, которые дают правильное описание области, лежащей внутри коллапсирующей звезды.
С помощью обрезанной координатной диаграммы (такой, как показано на фиг. 32.1, а—в) легко обнаружить и изучить различные специфические черты коллапса под гравитационный радиус.
1. Независимо от жесткости вещества коллапсирующей (сферической) звезды, если ее поверхность сколлапсировала под гравитационный радиус, то после этого звезда будет продолжать коллапсировать до тех пор, пока ее поверхность не будет сжата в сингулярность при г = 0. Мы приходим к этому выводу, вспоминая, что поверхность звезды не может двигаться быстрее света и, следовательно, угол между мировой линией поверхности И ОСЬЮ V на диаграмме Крускала — Шекереса должен быть всегда меньше 45°.
§ 32.3. Внешняя геометрия коллапсирующей звезды 47
I
2. Никакой сигнал, например фотон, посланный с поверхности звезды после того, как поверхность сколлапсировала под гравитационный радиус, никогда не сможет уйти к внешнему наблюдателю. Все сигналы, испущенные уже под гравитационным радиусом, захватываются и уничтожаются в процессе коллапса окружающей звезду геометрии в сингулярность при г = О, когда пространство вокруг звезды «разрывается».
3. Следовательно, внешний наблюдатель никогда не сможет видеть звезду после того, как она пересекла свой гравитационный радиус, и никогда не сможет видеть сингулярность, которая является завершением коллапса,— разве что он пожелает сам упасть под гравитационный радиус и ценой собственной жизни заплатить за полученные таким путем знания.
Означает ли это, что коллапсирующая звезда мгновенно и полностью исчезает из поля зрения внешнего наблюдателя, как только она достигает гравитационного радиуса? Нет, согласно приведенному на фиг. 32.1 исследованию, это будет выглядеть иначе. Поместим на поверхности звезды астрофизика, который будет информировать удаленного (г 2М) неподвижного астронома о ходе коллапса, посылая серию сигналов, разделенных равными промежутками времени. На пространственно-временной диаграмме, показанной на фиг. 32.1, в, эти сигналы распространяются вдоль нулевых линий. Сигналы посылаются из точек, лежащих на мировой линии поверхности звезды, а принимаются удаленным астрономом в точках пересечения сигналов с его мировой линией г = const ~^>М. По мере того как звезда коллапси-рует, подходя все ближе и ближе к своему гравитационному радиусу, сигналы, посылаемые с равными промежутками времени по часам астрофизика, будут приниматься все реже и реже. Только через бесконечный промежуток времени астроном получит сигнал, посланный непосредственно перед тем, как звезда достигла гравитационного радиуса, и он никогда не получит сигналов, посланных уже из-под гравитационного радиуса. Эти сигналы, так же как и сам астрофизик, посылающий их, совершив короткое путешествие, будут захвачены и уничтожены в сингулярности при г = 0. Коллапсирует не только звезда; сама геометрия вокруг звезды тоже коллапсирует.
