Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Краткая
сводка
сведений о
реальном
несферическом
коллапсе
1) горизонт
2) черная Дыра
3) сингулярность
УПРАЖНЕНИЯ
г) Этот вопрос более подробно рассмотрен в работах [70—72].
2
68 32. Гравитационный коллапс
УПРАЖНЕНИЯ
а. Разложите внешнее поле на скалярные сферические гармоники, используя для внешней геометрии Шварцшильда шварц-пшльдовские координаты
Ф = г)?,тф, ф). (32.27а)
Покажите, что вакуумное уравнение поля сводится к следующему уравнению:
(У і <32-27б>
где г* — «черепашья координата», рассмотренная в § 25.5 и на фиг. 25.4:
г* = r + 2Mln (ГІ2М — 1). (32.27в)
Заметим, что уравнение (32.276) представляет собой одномерное волновое уравнение в плоском пространстве с эффективным по-тенциалом
I',ф» (г)- (1-^) ¦ (32.27г)
Часть этого эффективного потенциала [/(/+ 1 )/гЦ является «центробежным барьером», а другая часть [2М/r] обусловлена кривизной пространства-времени. Заметим, что этот эффективный потенциал для скалярных волн похож на эффективный потенциал для частиц и фотонов, движущихся в геометрии Шварцшильда:
(Пчастиц = (1 -2ВД (1+№),
(Я_2)ф0тсн0в = (1—2 M/r)/r~2
(дополнения 25.6 и 25.7). Потенциал для скалярных волн, так же как и потенциал для фотонов, положителен при всех г > 2М. Он возрастает от нуля при г = 2М до максимума барьера, а затем снова падает до нуля при г = оо.
б. Покажите, что физически допустимых статических скалярно-волновых возмущений шварцшильдовской черной дыры не существует. !Точнее покажите, что все статические решения уравнения (32.276) обращаются в бесконечность либо на горизонте (г = 2М, г* = — оо), либо на бесконечном радиусе.1 Это означает, что черная дыра, образованная в процессе коллапса, должна каким-то образом избавляться от внешнего скалярного поля звезды прежде, чем она приходит в застывшее состояние.
в. Общее решение волнового уравнения (32.276) может быть представлено в виде фурье-разложения. Покажите, что для волн, распространяющихся наружу от горизонта («волны, распространяющиеся направо»), которые частично проходят на бесконеч-
§ 32.7. Обзор проблемы реального гравитационного коллапса 69 ность, а частично отражаются, общее решение имеет вид
OO
?/(*, г*)= J Л (k) Rh (r*)e~iMdk, (32.28а)
— OO
где
?РДк/dr« = [-fta + Увфф (г)] Rf, (32.286)
Rb =eikr*e~ikr* при г* —*¦— оо,
Rb=T[R)eihr* при г*-+ оо. (32.28в)
Покажите, что «коэффициенты отражения и прохождения для волн, распространяющихся направо», и имеют сле-
дующие асимптотики при | к | IIM (малые волновые числа, большие длины волн):
Ґкп)= -1 + а2Мік,
T
I_____________
I 7 П 1
в пределе к-*-О получается полное отражение и полное погашение в результате интерференции; подробнее см. в дополнении 32.2
где аир — константы порядка единицы. Проведите аналогичное исследование для волн, падающих на шварцшильдовскую черную дыру извне («волны, распространяющиеся налево»).
г. Покажите, что при коллапсе к горизонту мировая линия поверхности звезды в координатах (t, г*) описывается соотношением
г* = R* (t) = — t — Rq exp (—t/2M) + const,
(32.29а)
где Rt выражается через 4-ускорение а поверхности (а > О, если 4-ускорение направлено от центра) следующим образом:
R% = {SMle) {l-f 16Ма [Ma + (itf2a2 + i-)1/2]}. (32.296)
Итак, оказывается, что мировая линия поверхности становится нулевой вблизи горизонта (t + г* = V = const); конечно, это обусловлено особенностью системы координат в этом месте. Покажите далее следующее: чтобы скорость изменения скалярного поля 1Ifизмеренная на поверхности звезды, была конечной при
I I
в пределе к-*- О нет прохождения волны на бесконечность; см. дополнение 32.2
2
УПРАЖНЕНИЯ
2
70 32. Гравитациопныи коллапс
УПРАЖНЕНИЯ
приближении к горизонту (t —>¦ оо. г* -у-— оо, U ->-оо), скалярное поле на поверхности звезды (V — con?t) должно изменяться по закону
-QeojTQfie-viiuI C = t-r*. (32.29b)
Заметим, что 0 есть «предельное значение» скалярного поля на Поверхности звезды. Эту величину можно рассматривать как Выходящую волну с нулевым волновым числом (бесконечной длиной волны), и, следовательно, она полностью отражается на эффективном потенциале, испытывая полное погашение [см. уравнение (32.28г), а также дополнение 32.2). Вывод. Все мультиполь-ные компоненты скалярного поля затухают на бесконечном г* при t —>¦ оо. (Теорема Прайса для скалярного поля.) Более полное исследование, включающее скорости затухания мультиполей, приведено в работах [70—72).
32.11. «Константы» Ньюмана — Пенроуза 1J
Уилер [76] показал, что уравнения Максвелла для /-мультиполя электромагнитного поля в геометрии Шварцшильда могут быть сведены к волному уравнению
-'4Y и + г.,. - (I - ~) (32.30)
[электромагнитный аналог уравнения (32.276)]. После того как это уравнение решено, компоненты электромагнитного поля могут быть получены, если на T,(t, г*) Yfm (0, ф) подействовать определенными дифференциальными операторами.
а. Покажите, что общее решение электромагнитного волнового уравнения (32.30) в случае дипольных полей (/= 1) при заданных граничных условиях на выходящую волну при г* оо имеет вид
