Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 3" -> 20

Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 3 — М.: Мир, 1977. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom31977.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 210 >> Следующая


At = я (R3iISM)1IK

Весьма интересно то обстоятельство (хотя оно и объясняется случайным совпадением), что в ньютоновской теории для достижения бесконечной плотности при коллапсе, протекающем по
§ 32.4. Коллапс звезды 53

2

законам свободного падения, требуется в точности такой же интервал времени [см. уравнение (25.27'), фиг. 25.3 и приведенное там обсуждение].

Что же происходит внутри пылевого шара в процессе коллапса? Для пыли в отсутствие давления можно было бы рассмотреть целый ряд различных внутренних областей (упражнение 32.8). Ho мы сосредоточим внимание здесь на простейшей из них: на внутренней области, которая является однородной и изотропной всюду, за исключением границы, т. е. на такой внутренней области, которая локально тождественна фридмановской космологической модели, заполненной пылью (дополнение 27.1). Должна ли фридмановская внутренняя область быть «открытой» (к = — 1), «плоской» [к = 0) или «закрытой» (к = + 1)? Подходит только закрытый вариант, поскольку мы уже потребовали [уравнение (32.10)], чтобы вначале звезда находилась в состоянии покоя (начальная скорость изменения плотности равна нулю; «момент максимального расширения»).

Используя сопутствующие гиперсферические координаты

0, ф для внутренней области звезды и помещая начало координат в центр звезды, мы можем записать линейный элемент в знакомой фридмановской форме

ds2 = — dr2 + а2 (т) [dy? + sin2% (dd2 + sin2 0 dtf>2)].

(32.11)

Здесь а (т) дается известными соотношениями для циклоиды

\

a = j am(l + cos T]),

! (32.12)

(T)+ SHI Т)),

а плотность определяется выражением

p=(3am/8n)a~3 = (3/8jxam)|^(l+cosT])J 3 (32.13)

[см. уравнения (1), (9), (4) и (5) дополнения 27.1, в которых г) должно быть заменено на т) + л].

В связи с этим внутренним решением возникает лишь одна ТРУДНОСТЬ. В случае космологии решение было всюду однородным и изотропным. Здесь же однородность и изотропность нарушаются на поверхности звезды, расположенной при некотором одном и том же для всех т значении радиуса

X = Xe (32.14)

которое определяется как полярный угол на гиперсфере и является сопутствующей координатой (см. первый рисунок в дополнении 27.2). На этой гиперповерхности (т. е. на трехмерной мировой трубке, внутри которой заключены мировые линии

2) область

внутри шара

тождественна

некоторой

части закрытой

фридмановской

вселенной

3) сшивание

фридмановской

внутренней

области со

шварцшильдов-

екой внешней

областью
2

54 32. Гравитационный коллапс

УПРАЖНЕНИЯ

всех частиц вещества звезды) внутренняя фридмановская геометрия должна плавным образом переходить во внешнюю геометрию Шварцшильда. Если такой переход осуществить нельзя, то внутреннюю область коллапсирующей звезды нельзя описывать фридмановским линейным элементом (32.11). Примером случая, когда плавный переход невозможен, служит внутренняя область с однородной плотностью и с однородным, но не равным нулю давлением. В этом случае на поверхности звезды возник бы бесконечно большой градиент давления, приводящий к тому, что внешние слои звезды выбрасывались бы наружу, а внутрь по направлению к центру распространялась бы волна разряжения. Однородное распределение плотности и давления было бы сразу же нарушено.

Если давление равно нулю, то такой плавный переход возможен. Чтобы убедиться в этом хотя бы частично, рассмотрим самостоятельные и независимые предсказания, которые даются внутренним и внешним решениями относительно длины окружности на поверхности звезды С = 2яі? как функции собственного времени т, измеряемого на поверхности. Внешнее шварцшильдовское решение дает соотношения для циклоиды

С — 2яД = 2л (Ri '2) (I + cos т|),

(32.15)

т = (Д’/вЛ/)1-'* (г] + sin г])

[уравнения (32.10)]. Внутреннее фридмановское решение предсказывает аналогичные соотношения для циклоиды

(1

-у ат sin Xo) (I — c°s rO-j ~ (32.16)

T = у Ят Ol-Г Sin Г]).

Эти два предсказания полностью согласуются друг с другом для любого момента времени в том и только в том случае, если

Ri = ат sin 7о, (32.17а)

M = ~ ат Sin3X0- (32.176)

Более полная проверка сшивания решений дана в упражнении

32.4.

Чтобы составить себе более глубокое представление об этой идеализированной модели гравитационного коллапса, см. дополнение 32.1.

32.3. Диаграммы погружения для коллапсирующей звезды и распространение фотонов

Проверьте подробно правильность характерных черт однородного коллапса, описанных в дополнении 32.1.
§ 32.4. Коллапс звезды 55

2

32.4. Сшивание фридмановской внутренней упражнения

и шварцшильдовской внешней областей

Эйнштейновские уравнения поля удовлетворяются на поверхности звезды в том и только в том случае, если внутренняя и внешняя геометрии трехмерной мировой трубки поверхности одинаковы независимо от того, определяется ли она во внешней или же во внутренней области (доказательство и обсуждение этого утверждения даны в § 21.13). Убедитесь в том, что в рассмотренном выше случае коллапсирующей звезды внутренняя и внешняя геометрии сшиваются на границе между фридмановской внутренней и шварцшильдовской внешней областями. [Указания: а. Используйте в качестве координат на мировой трубке поверхности звезды координаты т), 0, ф и покажите, что внутренняя геометрия обладает одним и тем же линейным элементом
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed